Sup PCSI2 — Devoir 2005/01 ◮ Pour n > 1 et p > 1, nous noterons Sp

Sup PCSI2 — Devoir 2005/01

◮Pourn>1 etp>1, nous noteronsSp(n) = X

16k6n

k^p. Rappel de quelques formules :

S₂(n) =n(n+ 1)(2n+ 1)

6 S₃(n) =n²(n+ 1)² 4 Q1 Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralun =S₂(n)

n³ ? Q2 Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eralvn= S₃(n)

n⁴ ? Q3 Justifieztr`es simplement l’encadrementn⁴6S₄(n)6n⁵. Q4 Calculez S₄(n) pour n∈[[2,5]].

Q5 Rappelez le d´eveloppement de (a+b)⁵.

Q6 En utilisant le d´eveloppement de (k+ 1)⁵, ainsi qu’un t´elescopage adroit, donnez une expression simple de S4(n).

Q7 V´erifiez la validit´e de cette expression, pour n∈[[2,5]].

Q8 Explicitez λ >0 etαtels que S₄(n) n^α −−−→

n→∞ λ.

◮Nous nous proposons de g´en´eraliser ce dernier r´esultat.

Q9 Pourk>0, justifiez l’encadrement suivant : k^p6

Z k+1 k

t^pdt6(k+ 1)^p

Q10 En d´eduire un encadrement deSp(n) par des int´egrales, que vous calculerez.

Q11 Explicitez alorsλ(p)>0 etα(p) tels que S_p(n) n^α(p) −−−→

n→∞

λ(p).

[Devoir 2005/01] Compos´e le 11 juin 2008