Sup PCSI2 — Contrˆole 2005/06
Obligatoires: num´erotation des copies de 1/n `a n/n; votre nom sur chaque copie ; num´erotation des questions ; r´esolution dans l’ordre de l’´enonc´e ; au moins une ligne saut´ee entre deux questions cons´ecutives.
Interdits: encre rouge, crayon, tippex, salet´e excessive.
Recommand´es: preuves rigoureuses et concises ; pr´esentation soign´ee ; orthographe tol´erable.
◮Notonsϕ: t∈R7→t+ arctan(t).
Q1 R´esolvez dansRl’´equationϕ(t) = 0.
◮NotonsF : x7→
Z 2x x
dt ϕ(t).
Q2 Quel est l’ensemble de d´efinition deF?
Q3 Pourx >0, quel est le signe deF(x) ? Et pourx <0 ? Q4 F poss`ede-t-elle une parit´e ?
Q5 Montrez que F est d´erivable surR∗+ et explicitez F′(x).
Q6 Montrez que F est de classeC∞ surR∗+.
Q7 Rappelez la formule exprimant tan(2a) en fonction de tan(a). Aucune preuve n’est demand´ee.
Q8 Pourx >0, ´etablissez l’in´egalit´e arctan(2x)<2 arctan(x).
Q9 Quel est le sens de variation deF surR∗+?
◮Nous nous proposons d’´etudier le comportement deF au voisinage de +∞. Q10 Pourt >0, justifiez l’in´egalit´e 1
ϕ(t) < 1 t. Q11 En d´eduire queF est major´ee surR∗+.
Q12 Sans autre calcul, montrez queF(x) poss`ede, lorsquextend vers +∞, une limiteℓque nous allons d´eterminer.
Q13 Pourt >0, justifiez l’in´egalit´e 1
t+π2 < 1 ϕ(t).
Q14 En d´eduire un encadrement deF(x), puis la valeur deℓ.
◮Nous ´etudions maintenant le comportement deF `a droite de 0.
Q15 Sans aucun calcul, prouvez queF poss`ede une limite `a droite de 0, qui sera not´eeλdans la suite.
Q16 Pouru∈R, prouvez l’encadrement 1−u26 1
1 +u2 61.
Q17 En d´eduire un encadrement de arctan(t) valable pourt >0.
Q18 En d´eduire, pour 0< t61, l’encadrement 1 2t < 1
ϕ(t)6 3
t(6−t2). Q19 Supposons toujours 0< t61 ; prouvez l’in´egalit´e 1
6−t2 61 +t2 6 . Q20 En d´eduire un encadrement deF(x) valable pour 0< x61/2.
Q21 En d´eduire la valeur deλ.
Q22 F peut-elle ˆetre prolong´ee par continuit´e en 0 ?
Q23 ⋆⋆ F′ poss`ede-t-elle une limite `a droite de 0 ? Indication : arctan(u) ==
0 u−u3
3 +o(u3).
Q24 Donnez l’allure de la courbe repr´esentative deF.
[Contr^ole 2005/06] Compos´e le 11 juin 2008
