Sup PCSI2 — Devoir 2007/06
◮Dans tout ce probl`eme,E d´esigne l’espace vectoriel r´eelR3[X].
Q1 Soit P ∈ R[X] ; notons Q le quotient et R le reste, dans la division euclidienne de P par X2(1−X2).
Exprimez les coordonn´ees (a, b, c, d) deR dans la base canonique B= (1, X, X2, X3) de E, en fonction des r´eelsP(0),P′(0),P(1) etP(−1).
◮Notons Ψ la fonction qui, `aP ∈R3[X], associe le quadruplet de r´eels¡
P(0), P′(0), P(1), P(−1)¢ . Q2 Montrez que Ψ est un isomorphisme deE sur R4.
Q3 Explicitez la matrice M de Ψ relativement aux bases canoniques respectives deE etR4. Q4 Calculez M−1.
◮Notonsϕ: (P, Q)∈E27→P(0)Q(0) +P′(0)Q′(0) +P(1)Q(1) +P(−1)Q(−1).
Q5 Montrez que ϕd´efinit un produit scalaire surE. Q6 Explicitez la matrice A deϕdans la baseB.
◮NotonsF le s.e.v. deE engendr´e parX2 etX3,Hla projection orthogonale deE surF etHla matrice de Hdans la base canonique deE.
Q7 Quelle relation alg´ebriquetr`es simple v´erifie H? Q8 Quel est le rang de H? Quelle est la trace deH? Q9 D´eterminez H.
Q10 La matrice H n’est pas sym´etrique ; pourtant, c’est la matrice d’une projection orthogonale. Comment expliquez-vous ceci ?
[Devoir 2007/06] Compos´e le 19 avril 2008
