Sup PCSI2 — Devoir 2000/05
◮On notef : x∈R7→x+ sinx.
Q1 Prouvez quef r´ealise une bijection deRsur lui-mˆeme.
Q2 Prouvez quef est lipschitzienne, et calculez la meilleure constante deLipschitzpourf surR.
Q3 Prouvez que la fonction h: x∈R7→f−1(x)−xest born´ee ; d´eterminez ses bornes sup´erieure et inf´erieure.
Q4 D´eterminez toutes les solutions de l’´equation f−1(x) =x.
Q5 f−1 est-elle de classeC∞ surR?
◮On noteI l’intervalle [−π/3, π/3], et gla restriction def `a I.
Q6 Prouvez queg est une bijection, de classeC∞, deI sur un intervalleJ que vous pr´eciserez.
Q7 Explicitez leDL5(0) deg−1; les coefficients seront donn´es sous forme de fractions irr´eductibles.
◮Soitn>1. On notefn lan-i`eme it´er´ee def. On a doncf1=f, etfn+1=fn◦f =f◦fn.
◮Soita∈]0, π[. On s’int´eresse `a la suite (un)n∈Nd´efinie paru0=aet la relation de r´ecurrenceun+1=f(un).
On a doncun=fn(a).
Q8 Montrez que tous les termes de cette suite appartiennent `a l’intervalle ]0, π[.
Q9 Comparez un et un+1.
Q10 Montrez que cette suite converge ; quelle est sa limite ?
Q11 Montrez que l’´equation fn(x) = 1 poss`ede une et une seule solution dans l’intervalle K = [0, π/2]. Nous noteronsxn cette solution.
Q12 Quel est le sens de variation de la suite (xn)n>1? Q13 Prouvez la convergence de la suite (xn)n>1. Q14 Quelle est la limiteξde la suite (xn)n>1?
[Devoir 2000/05] Compos´e le 10 juin 2008
