Sup PCSI2 — Devoir 2010/01
◮Notonsf : x7→arcsin(x) + arcsin(2x).
Q1 D´eterminez l’ensemble de d´efinition I def. Q2 Calculez f³1
2
´.
Q3 Proposez une fonction Maple calculant f(x) pourxdonn´e.
Q4 Montrez que f est continue surI.
Q5 f est-elle d´erivable sur son ensemble de d´efinition ?
Q6 Montrez quef est strictement croissante. Remarque : pour r´epondre `a cette question, vous ne ferez pas appel
`a la d´eriv´ee def.
Q7 Montrez que f r´ealise une bijection deI sur un intervalleJ que vous pr´eciserez.
Q8 Montrez que l’´equationf(x) =π
2 poss`ede une et une seule solution dansI. Remarque : dans cette question, on ne vous demande pas der´esoudre cette ´equation.
Q9 R´esolvez l’´equationf(x) =³π 2
´. Remarque : cette question demande quelques calculs et raisonnements que vous devrez soigneusement justifier !
Q10 Montrez quef est d´erivable sur un intervalleK que vous pr´eciserez.
Q11 Explicitezf′(x) pourx∈ K.
◮Notonsg: x7→sin¡ f(x)¢
.
Q12 Quel est l’ensemble de d´efinition deg? Q13 Calculezg³1
2
´.
Q14 Montrez quegest continue sur son ensemble de d´efinition.
Q15 D´ecrivez les variations deg.
Q16 Montrez quegest d´erivable sur un intervalle que vous pr´eciserez.
Q17 Explicitezg′(x) pourxappartenant `a cet intervalle. Le r´esultat ne devra contenir aucune des fonctions sin, cos, arcsin, arccos.
Q18 R´esolvez l’´equationg(x) = 1.
[Devoir 2010/01] Compos´e le 30 septembre 2010
