Sup PCSI2 — Devoir 2001/09
◮Il est rappel´e que, sig∈ C¡
[a, b],R¢
garde un signe constant sur [a, b], et si Z b
a
g(t)dt= 0, alorsg est nulle en tout point de [a, b].
Q1 Soient g ethdeux fonctions continues de [a, b] dansR. Nous supposons que hgarde un signe constant sur [a, b]. Montrer qu’il existec∈[a, b] tel que
Z b
a
g(t)h(t)dt=g(c) Z b
a
h(t)dt
Q2 Justifiez l’existence de la fonction f : x >07→
Z x2
x
ln(t) 1 +tdt.
◮La suite du probl`eme est consacr´ee `a l’´etude de la fonctionf; nous noteronsCf sa courbe repr´esentative.
◮Un ´equivalent simple def(x) est une expression de la formekxαlnβ(x), aveck6= 0.
Q3 Quel est le signe def(x) ?
Q4 Utilisez Q1 pour d´eterminer la limite de f(x) quandx→+∞. Donnez ´egalement la nature de la branche infinie deCf.
Q5 Prouvez quef(x) est ´equivalent `a 3
2ln2(x) quandx→+∞.
Q6 Utilisez Q1 pour montrer que f(x) poss`ede une limiteℓ, que vous pr´eciserez, quand x→ 0+. D´esormais, nous consid´ererons quef ´et´e prolong´ee par continuit´e en posantf(0) =ℓ.
Q7 Donnez un ´equivalent simple def(x) quandx→0+, en d´eduire la limite de f(x)
x quandx→0+. Interpr´etez ce r´esultat.
Q8 Sans calculer f′(x), montrez de trois fa¸cons diff´erentes que f′(1) = 0.
Q9 Explicitez f′(x).
Q10 Dressez le tableau des variations def. Q11 Et pour finir en beaut´e, construisezCf.
[Devoir 2001/09] Compos´e le 11 juin 2008
