Sup PCSI2 — Devoir 2005/02
Q1 Soient u0 >0 et u1 >0. Prouvez que la relationun+2 = un+12+un 2
un+1+un
permet de d´efinir une suite (un) de r´eels, tous strictement positifs.
Q2 ´Etudiez le cas o`u u0=u1.
Q3 Supposons u0< u1. Montrez que les suites (u2n) et (u2n+1) sont adjacentes.
Q4 En d´eduire la convergence de la suite (un), et montrez que la limiteℓde cette suite appartient `a ]u0, u1[.
Q5 Quel ´enonc´e a-t-on lorsqueu0> u1? Remarque: on ne demande pas de le d´emontrer.
◮Notonsλ(u0, u1) la limite de la suite d´efinie paru0 etu1.
Q6 Soit k >0. Quelle relation existe-t-il entreλ(ku0, ku1) etλ(u0, u1) ?
◮Pourx >0, notonsf(x) =λ(1, x).
Q7 Prouvez que lim
x→1f(x) = 1.
Q8 ´Etablissez la formulef(x) =xf³x2+ 1 x2+x
´.
Q9 En d´eduire µ6= 0 etα∈Rtels que lim
x→+∞
f(x) µxα = 1.
Q10 Fixonsu0= 1 etu1=x∈]0,1[. Explicitezu2 etu3 en fonction dex.
Q11 En d´eduire lim
x→0+f(x).
Q12 Pr´ecisez le signe def(x)−x, puis celui def(x)−x+ 1, en fonction de x.
Q13 Que pouvez-vous en d´eduire concernant la courbe repr´esentative def?
Q14 Admettons quef est continue et d´erivable surR∗+. Avec ces hypoth`eses, et les r´esultats ´etablis auparavant, indiquez l’allure de la courbe repr´esentative def, en supposant que celle-ci esthhla plus simple possibleii.
[Devoir 2005/02] Compos´e le 11 juin 2008
