Sup PCSI2 — Contrˆole 1995/06
R´edigez chacune des parties sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Les autres recommandations habituelles restent en vigueur, bien entendu.
Toute confusion entref et f(x)entraˆınera l’arrˆet imm´ediat de la correction.
Partie I : ´etude def : x∈R∗7→ arctan(x) x
Q1 D´eterminez la limiteℓ def(x) quandxtend vers z´ero.
◮Nous noterons encoref le prolongement par continuit´e obtenu en posantf(0) =ℓ.
Q2 Quelle est la parit´e de f? Q3 Explicitez f′(x) pourx6= 0.
Q4 ´Etudiez les variations def surR+.
Q5 Pr´ecisez la limite def(x) lorsquextend vers +∞. Q6 Pourx>0, justifiez l’encadrementx−x3
3 6arctan(x)6x.
Q7 Quel encadrement de arctan(x) pouvez-vous ´ecrire pourx60 ? Q8 En d´eduire l’existence et la valeur de lim
x→0f′(x).
Q9 Que pouvez-vous alors affirmer concernantf′? Q10 Explicitezf³√
3 3
´,f(1) etf¡√
3¢
; vous ne laisserez pas de radicaux aux d´enominateurs.
Q11 Donnez des approximations d´ecimales des valeurs pr´ec´edentes `a 10−1pr`es. Indication :π≈3.15 et√
3≈1.73.
Q12 Tracez la courbe repr´esentative def; l’unit´e sera ´egale `a 25 mm.
Partie II : ´etude d’une primitive de f
Q13 Justifiez le fait quef poss`ede des primitives surR.
◮NotonsF la primitive def qui s’annule en 0 ; nous avons doncF(x) = Z x
0
f(t)dt.
Q14 Quelle est la parit´e deF?
◮Nous nous proposons d’´etudier le comportement deF(x) lorsquextend vers +∞. Q15 Justifiez, pourx>1, l’in´egalit´eF(x)>F(1) +π
4 ln(x).
Q16 En d´eduire la valeur de lim
x→+∞F(x).
Q17 D´eterminez de mˆeme lim
x→+∞
F(x) x . Q18 Justifiez, toujours pourx>1 :
F(x) =F(1) + arctan(x)×ln(x)− Z x
1
ln(t) 1 +t2dt Q19 ⋆⋆ Prouvez que ln(t)
1 +t2 6t−3/2 pour toutt>1. Indication :e > 5 2. Q20 En d´eduire, toujours pourx>1, un encadrement simple de
Z x
1
ln(t) 1 +t2dt.
Q21 En d´eduire un ´equivalent simple deF(x) quandxtend vers +∞.
Q22 Soita >0 ; simplifiez arctan(a) + arctan(1/a) ; bien entendu, vous donnerez une preuve de votre affirmation ! Q23 Montrez alors queF(x) =π
2 ln(x) +O(1) lorsquextend vers +∞.
1
Partie III : ´etude deF(x) lorsquex tend vers z´ero
Q24 Utilisez l’encadrement de Q6 pour justifier la majoration suivante :
¯
¯
¯
¯
F(x)−x+x3 18
¯
¯
¯
¯ 6 |x|3
18
◮Nous nous proposons maintenant de donner un d´eveloppement limit´e deF `a un ordrenquelconque. Nous noteronsSn(x) = X
06k6n
(−1)kx2k.
Q25 Justifiez l’in´egalit´e¯
¯
¯ 1
1 +x2−Sn(x)¯
¯
¯6x2n+2.
Q26 ´Enoncez l’in´egalit´e des accroissements finis. La d´emonstration n’est pas demand´ee.
Q27 Pourx>0, prouvez l’in´egalit´e
¯
¯
¯
¯
arctan(x)− X
06k6n
(−1)kx2k+1 2k+ 1
¯
¯
¯
¯
6 x2n+3 2n+ 3. Q28 En d´eduire une majoration de
¯
¯
¯
¯
F(x)− X
06k6n
(−1)kx2k+1 (2k+ 1)2
¯
¯
¯
¯
, d’abord pourx >0, puis pourxquelconque.
Q29 Donnez alors le d´eveloppement limit´e `a l’ordre ndeF(x), lorsquextend vers 0. Vous pourrez, au besoin, distinguer deux cas de figure selon la parit´e den.
Q30 Que pensez-vous de la suite de terme g´en´eral X
06k6n
(−1)k (2k+ 1)2?
[Contr^ole 1995/06] Compos´e le 7 mars 2008
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