Sup PCSI2 — Commentaire du contrˆole 2009/03
Compliments
◮Bravo `a celles et ceux qui ont pr´ecis´ehhd´erivable, sauf peut-ˆetre en 0ii.
Reproches
◮Beaucoup de copies sales, difficilement lisibles, sans s´eparation nette entre deux questions cons´ecutives, avec du texte dans les marges. . .
◮Trop de d´emonstrations incorrectes, qui se terminent, par exemple, parhhet doncx2>0ii.
◮Les assertionshhx>0iiet hhx2>0iine sont pas ´equivalentes.
◮L’expression de la d´eriv´ee dex7→arcsin(e−x2) est tr`es souvent fausse (x2au lieu de 2x2, sous le radical).
◮x2, f(x) ne sont pas des fonctions. Dans le mˆeme genre, hhf(x) est croissanteii est incorrect :hhf est crois- santeii est correct, et c’est encore mieux si l’on pr´ecise l’intervalle sur lequel cette assertion est vraie.
◮Lu dans une copie :hhP est de degr´e 2n, doncP est pairii.
◮Trouv´e dans une copie :f ◦f = f¡
f([a, b]¢
. `A gauche, il y a une fonction, `a droite il y a l’image d’un intervalle : comment ces deux objets pourraient-ils ˆetre ´egaux ?
◮Vu dans plusieurs copies : la suite de terme g´en´eralxnconverge vers
p2 ln(2)
n . Rappel : la limite d’une suite ne d´epend pas de l’indice de son terme g´en´eral ; si vous pr´ef´erez : dans l’expression de la limite, la lettren ne peut pas apparaˆıtre.
◮Un nombre estpair, une fonction est paire.
◮Evitez d’utiliser les quantificateurs´ ∀et∃: en g´en´eral, ce que vous ´ecrivez avec est absurde. Utilisez la langue fran¸caise.
◮Rappel : le TVI affirme l’existence, mais pas l’unicit´e de la solution de l’´equationf(x) = 0.
◮La d´efinition d’une fonction born´ee n’st pas comprise ; dans une copie, j’ai pu lire :hhf est born´ee car, pour toutx∈R, il existeM ∈Rtel que¯
¯f(x)¯
¯6Mii. Avec cettehhd´efinitionii,toute fonction est born´ee.
◮Sif est continue sur un intervalleI, et sia∈I, alors la limite enadef estf(a).
◮Encore un scoop : exp(−x2)>−1.
◮Lu dans une copie :hhpour toutf(x) appartenant `a [a, b]. . . ii: ceci n’a ´evidemment aucun sens.
◮Lu aussi :hhg(x) n’est pas minor´eeii; il fallait ´ecrirehhgn’est pas minor´eeii. Toujours la confusion entreg et g(x).
◮Ne pas oublier ledt(ou le dx) dans une int´egrale.
◮Attention : d dx
¡(u◦v)(x)¢
n’est pas ´egal `a d dx
¡u(x)¢× d dx
¡v(x)¢ .
◮Lu dans une copie :hhf n’est pas born´ee, donc il existe un r´eelatel que f(x)−−→
x→a
+∞ii.
◮Gag authentique :t2×t2n−1 = (t2−1)(tn−1).
◮Charabia :hhf est d´ecroissante de π/2 vers 0ii. Une formulation meilleure serait :hhf d´ecroˆıt de π/2 `a 0] ; encore mieux :hhf d´ecroˆıt deπ/2 `a 0 lorsquexd´ecrit l’intervalle [0,1]ii.
◮Encore la confusion entref et f(x) :hhla fonction f est d´efinie si−16e−x2 61ii.
◮On dithhla restriction def `a l’intervalleIii(et passur).
◮Certain(e)s croient que toute suite d´ecroissante et minor´ee par 0 converge vers 0 : quelle erreur !
[Commentaire du contr^ole 2008/05] Compos´e le 29 janvier 2009
