Sup PCSI2 — Contrˆole 1997/08 Partie 1
Q1 Donnez une expressionsimple de Y
16k6n
(2k−1).
◮On notef : t∈R7→ 1
√t2+ 1.
Q2 Justifiez l’appartenance def `aC∞(R,R).
Q3 Explicitez f′(t) etf′′(t). Les calculs devront figurer sur votre copie.
◮Vous pourrez identifierP ∈R[X] et la fonction polynˆome qui lui est associ´ee. Tous les polynˆomes seront
´ecrits selon les puissances d´ecroissantes.
Q4 Montrez quef(n)(t) = Pn(t)
(t2+ 1)n+12 o`uPn est un polynˆome dont vous pr´eciserez (en fonction den) le degr´e, la parit´e, et le coefficient dominantαn.
Q5 La question pr´ec´edente a mis en ´evidence une relation exprimant Pn+1 en fonction de Pn et Pn′ ; utilisez cette relation `a l’exclusion de toute autre pour d´eterminerP1,P2, P3 et P4. Les calculs devront figurer sur votre copie.
Q6 Donnez une expressionsimple dePn(i).
Partie 2
Q7 ´Enoncez la formule de Leibniz pour la d´eriv´een-i`eme du produit de deux fonctions de classe Cn. On ne demande pas la d´emonstration.
Q8 Montrez que f est solution d’une ´equation diff´erentielletr`es simple.
Q9 En d´eduire une relation entre Pn,Pn+1 et Pn+2. Q10 Donnez une expressionsimple deP2n(0).
Q11 Justifiez l’affirmation suivante :Pn(1) ne peut ˆetre nul.
Q12 ExprimezPn′+1 en fonction dePn.
Q13 Montrez quePn est solution d’une ´equation diff´erentielle du deuxi`eme ordre.
◮Dans les trois questions suivantes,nest un naturel fix´e.
Q14 Justifiez l’affirmation suivante :hhon peut ´ecrirePn = X
062k6n
akXn−2kii.
Q15 ´Etablissez une relation entreak et ak+1.
Q16 En d´eduire une expression deak d´ebarrass´ee de tout symboleQ .
Partie 3
Q17 D´emontrez leth´eor`eme de Rolle g´en´eralis´e: sif, continue sur l’intervalle [a,+∞[, d´erivable dans l’intervalle ]a,+∞[, poss`ede en +∞une limite ´egale `af(a), alors il existec > atel quef′(c) = 0.
Q18 En utilisant ce th´eor`eme, prouvez quePnposs`ede exactementnracines r´eelles, distinctes, qui de plus s´eparent les racines dePn+1.
◮Pourn>2, on noteξn la plus petite racine strictement positive dePn. Q19 Explicitezξ2,ξ3 et ξ4. Les calculs devront figurer sur votre copie.
Q20 Justifiez :ξ2n+1 majore strictementξ2n etξ2n+2. Q21 Comparezξ4n et ξ4n+2, puisξ4n+2 etξ4n+4.
[Contr^ole 1997/08] Compos´e le 8 mars 2008
