Sup PCSI2 — Contrˆole 2000/05 INDIQUEZ VOTRE NOM SUR CHAQUE COPIE. N’UTILISEZ NI ENCRE ROUGE, NI CRAYON, NI TIP-PEX. Partie 1 Q1 Discutez le signe de p(x) = x

Sup PCSI2 — Contrˆole 2000/05

INDIQUEZ VOTRE NOM SUR CHAQUE COPIE. N’UTILISEZ NI ENCRE ROUGE, NI CRAYON, NI TIP-PEX.

Partie 1

Q1 Discutez le signe de p(x) =x²−8x−14 en fonction dex.

◮Notonsq: x∈R7→8e^x+ 14−e^2x.

Q2 Prouvez l’existence d’un r´eel αtel que le signe deq(x) soit celui deα−x.

Q3 En utilisant l’encadrement (admis) 5

2 < e <3, montrez queαappartient `a l’intervalle ]2,3[.

◮Notonsr: x∈R7→16e^x+ 28x−e^2x.

Q4 Calculez r(α) ; vous simplifierez au maximum l’expression obtenue ! Q5 Quel est le signe der(α) ?

Q6 ´Etudiez rapidement les variations der.

Q7 Montrez que l’´equationr(x) = 0 poss`ede deux solutions r´eelles, qui seront not´eesβ etγ, avecβ < γ.

Q8 Quel est le signe deβ?

◮Notonss: x∈R7→32e^x+ 28x²−e^2x. Q9 ´Etudiez rapidement les variations des.

Q10 Donnez une expression simplifi´ee des(β), puis d´eterminez le signe des(β).

Q11 Montrez que l’´equation s(x) = 0 poss`ede une et une seule solution r´eelle, qui sera not´ee δ. Placez δ par rapport aux nombres pr´ec´edemment introduits.

Q12 Discutez le signe des(x) en fonction dex.

Partie 2

◮Cette partie est ind´ependante de la pr´ec´edente. Elle doitIMP´ERATIVEMENTˆetre r´edig´ee sur une copie s´epar´ee.

◮Notonsϕ: t∈R7→ t⁴ e^t+t².

Q13 Justifiez l’existence de la fonctionf : x∈R7→

Z ^2x

x

ϕ(t)dt.

Q14 Discutez le signe def(x) en fonction dex.

Q15 Prouvez quef est de classeC^∞ surR.

Q16 Explicitezf^′(x).

Q17 D´eterminez leDL6(0) def.

Tournez S.V.P.

Partie 3

◮Cette partie utilise certains des r´esultats ´etablis auparavant. Elle doitIMP´ERATIVEMENTˆetre r´edig´ee sur une copie s´epar´ee.

Q18 Poura>0, justifiez l’encadrement 1−a6 1 1 +a 61.

Q19 Utilisez l’encadrement pr´ec´edent pour donner un ´equivalentsimple def(x) lorsquextend vers−∞. Q20 SoientP une fonction polynˆome, de degr´en, de coefficient dominantα, et λun r´eel non nul. D´eterminez le

degr´e et le coefficient dominant de la fonction polynˆomeQd´efinie par d dx

¡P(x)e^λx¢

=Q(x)e^λx. Q21 CalculezK(x) =

Z ^2x

x

t⁴e^−tdt. Les IPP ´eventuelles devront ˆetre justifi´ees avec soin.

Q22 Utilisez le r´esultat pr´ec´edent et une majoration tr`es simple pour obtenir la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞.

Q23 ´Etudiez le signe def^′(x).

Q24 Dressez le tableau des variations def.

Q25 Donnez l’allure de la courbe repr´esentative def.

Q26 Am´eliorez le r´esultat de la question 22, en calculant un ´equivalentsimple def(x) lorsquextend vers +∞.

[Contr^ole 2000/05] Compos´e le 10 juin 2008