Sup PCSI2 — Devoir 2002/08
Partie I
◮Il est vivement conseill´e de lire la totalit´e de l’´enonc´e avant de s’attaquer `a la r´esolution.
◮Notonsϕla fonction qui, `aP ∈R[X], associeϕ(P) =P(X+ 1)−X2P′′(X−1).
Q1 Justifiezen toute rigueur le fait queϕest un endomorphisme deR[X].
Q2 Donnez une expressionsimple du terme constant de ϕ(P) en fonction deP. Q3 L’´equation n2=n+ 1 poss`ede-t-elle des solutions dans N?
Q4 SoitP non nul, de degr´en, de coefficient dominantα. Montrez queϕ(P) a mˆeme degr´e queP, et explicitez son coefficient dominant en fonction deαet den; au besoin vous distinguerez plusieurs cas de figure dans la discussion, mais cette derni`ere devra d´eboucher sur une formuleunique valable pour toutn∈N.
Q5 Justifiez l’existence de l’endomorphisme deRn[X] induit parϕ . Vous le noterez d´esormaisϕn; nous avons doncϕn(P) =ϕ(P) pour toutP∈Rn[X].
Partie II
◮NotonsB3 la base canonique (1, X, X2, X3) deR3[X].
Q6 Calculez l’image parϕ3de chacun des ´el´ements deB3. En d´eduire la matriceAdeϕ3dansB3. Q7 Prouvez queϕ3 est bijectif.
Q8 Calculez la matrice inverseA−1 deA. Les ´etapes du calcul devront figurer sur votre copie !
Partie III
Q9 Justifiez l’affirmation suivante : ϕn est un automorphisme deRn[X] . Q10 Justifiez l’affirmation suivante : ϕest injectif .
Q11 Justifiez l’affirmation suivante : ϕest surjectif .
Partie IV
◮Fixons n ∈N et notons A la matrice de ϕn dans la base canonique (Xk)06k6n deRn[X]. Comme A est une matrice carr´ee d’ordren+ 1, nous ferons varier les indices de ligne et de colonne dans l’intervalle [[0,n]], pour plus de commodit´e.
Q12 Combien vautA0,k pourk∈[[0,n]] ? Q13 Combien vautAj,k pour 06k < j6n? Q14 Combien vautA1,k pourk∈[[0,n]] ? Q15 Combien vautA2,k pourk∈[[0,n]] ? Q16 Combien vautAk,k pourk∈[[0,n]] ? Q17 Calculez la trace deA: tr(A) = P
06k6n
Ak,k.
[Devoir 2002/08] Compos´e le 11 juin 2008
