R ~ s u m ~ . O n m o n t r e q u e c e r t a i n s c o r p s e n g e n d r ~ s s u r ~ p a r d e s n o m b r e s de la f o r m e e x p <x,y> , a v e c x E ~ n et y E C n , o n t un g r a n d d e g r ~ de

e n p l u s i e u r s v a r i a b l e s

M i c h e l W A L D S C H M I D T

R ~ s u m ~ . O n m o n t r e q u e c e r t a i n s c o r p s e n g e n d r ~ s s u r ~ p a r d e s n o m b r e s de la f o r m e e x p <x,y> , a v e c x E ~ n et y E C n , o n t un g r a n d d e g r ~ de t r a n s c e n d a n c e .

§i. I n t r o d u c t i o n .

S o i t n u n e n t i e r ~ 1 . Q u a n d X = ~ X l + . . . + ~ x d e s t u n s o u s - g r o u p e d e t y p e f i n i d e C n , o n n o t e

~(X) = m i n ( r a n g ~ X / X M W ) / d i m ~ c n / w W

q u a n d W d ~ c r i t les s o u s - e s p a c e s v e c t o r i e l s de ~ n s u r C a v e c w ~ n . A i n s i ~(X) ~ d / n , et p o u r n = 1 o n a ~(X) = r a n g ~ X .

O n c o n s i d ~ r e d e u x s o u s - g r o u p e s X = ~ X l + . ° . + ~ k d et

Y = ~ y l + . . . + ~ y ~ d e ~ n . O n n o t e < , } le p r o d u i t s c a l a i r e u s u e l d a n s

~ n • o n d ~ s i g n e p a r K le c o r p s o b t e n u e n a d j o i g n a n t ~ ~ les ed n o m b r e s

e x p ~ i , Y j > , ( l l i l d , i ~ j l ~),

et p a r t le d e g r ~ d e t r a n s c e n d a n c e d e K s u r @ . O n s a i t d ~ j ~ [Wal i~ :

s i ~ ( X ) ~ ( Y ) > ~(X) + ~ ( Y ) , a l o r s t > I s i ~ ( X ) ~ ( Y ) > 2 ( ~ ( X ) + ~ ( Y ) ) , a l o r s t ~ 2 .

Ii s e m b l e r a i s o n n a b l e d ' e s p ~ r e r d ~ m o n t r e r , d a n s u n a v e n i r a s s e z p r o c h e , q u e l ' h y p o t h ~ s e ~ ( X ) ~ ( Y ) > ~ ( X ) + ~ ( Y ) i m p l i q u e

t + l > ~ ( X ) ~ ( Y ) / ( ~ ( X ) + ~ ( Y ) )

Ii y a e n c o r e d e u x o b s t a c l e s p o u r y a r r i v e r . Le p r e m i e r v i e n t d u c r i t ~ r e

d ' i n d ~ p e n d a n c e a l g ~ b r i q u e de [W-Z] : a u l i e u d ' a v o i r l ' e x p o s a n t t + l

q u ' o n attend, on a s e u l e m e n t un e x p o s a n t qui crolt e x p o n e n t i e l l e m e n t a v e c t . La s o l u t i o n de ce p r o b l ~ m e p o u r r a i t v e n i r de la v o i e o u v e r t e p a r P h i l i p p o n [P2].

Le d e u x i ~ m e o b s t a c l e est de n a t u r e technique. C u r i e u s e m e n t , dans t o u s l e s d ~ v e l o p p e m e n t s a c t u e l s de la m ~ t h o d e de G e l ' f o n d (voir un a p e r q u h i s t o r i q u e dans [Wal 2]), p o u r o b t e n i r de g r a n d s degr~s de trans- c e n d a n c e on est c o n d u i t ~ i m p o s e r une h y p o t h ~ s e d ' a p p r o x i m a t i o n d i o p h a n - tienne. Pour s i m p l i f i e r nous d e m a n d e r o n s une i n ~ g a l i t ~ l ~ g ~ r e m e n t plus r e s t r i c t i v e q u e celle d o n t nous avons v r a i m e n t besoin.

i.i. P o u r t o u t ~ > O , il e x i s t e Ho(¢) > O tel q u e si ~i' .... l d "

h I .... ,h e sont des e n t i e r s r a t i o n n e l s v ~ r i f i a n t

ma×(I~ll ... I~dI,lhll ... lh~l) = H> Ho(~)

d

< ~ k i x i , ) i hj yj > = ~ ~ O ,

i=l j=l

I ~I > e x p ( - H s) e_!t

a l o r s

Sous cette h y p o t h ~ s e nous d ~ m o n t r e r o n s T H E O R ~ 4 E 1.2. S i ~(X)+~(Y) ~ 0 , on a

2 t ~ ~ ( X ) ~ ( Y ) / ( ~ ( X ) + ~ ( Y ) )

En u t i l i s a n t des t r a v a u x r ~ c e n t s de Z h u Y a o Chen, on p e u t r e m p l a c e r 2 t p a r 2t-2(2~.~) q u a n d t ~ 2 . En p a r t i c u l i e r q u a n d n = 1 cela a m ~ l i o r e les r ~ s u l t a t s a n t ~ r i e u r s de C h u d n o v s k y [C], W a r k e n t i n [War], P h i l i p p o n - R e y s s a t EPI,R], Endell [EI,E2] et N e s t e r e n k o IN].

V o i c i un a u t r e c o r o l l a i r e q u i fait i n t e r v e n i r p l u s i e u r s variables.

Soit K un s o u s - c o r p s de • de d e g r ~ de t r a n s c e n d a n c e t ~ O sur ~ , et s o i e n t ~.. , (i i i,j i m) m 2 ~ l ~ m e n t s m u l t i p l i c a t i v e m e n t i n d ~ p e n -

z3

dants de K * . On s u p p o s e que p o u r t o u t ¢ ) 0 il e x i s t e H (~) > O tel o

que p o u r tout h.. E ~ , (i ~ i , j ~ m ) v ~ r i f i a n t z3

m a x 1 I = H ~ H o ( ~ ) l{i, j{m hij

on ait

I i - ~ ~ ~hij > e x p ( - H E) i=l j=l ij

P o u r 1 i i , j i m on c h o i s i t u n e d ~ t e r m i n a t i o n log ~. • x3 de ~ij "

du l o g a r i t h m e

C O R O L L A I R E 1.3. Le r a n g r de la m a t r i c e (log ~ i j ) l l i , j ~ m v ~ r i f i e r > m / 2 t+l

D a n s le cas t = 0 on r e t r o u v e un r ~ s u l t a t de Ewal 11 §7. Le cas g ~ n ~ r a l se d ~ m o n t r e de la m ~ m e m a n i ~ r e .

Ii n ' y a pas de d i f f i c u l t ~ ~ d o n n e r des a n a l o g u e s p - a d i q u e s de ces r ~ s u l t a t s .

V o i c i le p l a n de cet expose. A u §2 on ~ n o n c e un r ~ s u l t a t p l u s p r e c i s q u e le t h ~ o r ~ m e 1.2, en y r e m p l a q a n t 2 t p a r un n o m b r e J(K)

( v ~ r i f i a n t J(K) 1 2 t d ' a p r ~ s le c r i t ~ r e d ' i n d ~ p e n d a n c e a l g ~ b r i q u e de [W-Z~). La d ~ f i n i t i o n de J(K) nous a m i n e ~ c h o i s i r u n e b a s e de t r a n s - c e n d a n c e 8 1 , . . . , 8 t de K sur Q , et ~ lui faire s u b i r des p e t i t e s p e r t u r b a t i o n s (§3). On m o n t r e au §4 c o m m e n t i n t e r v i e n t l ' h y p o t h ~ s e t e c h n i q u e (i.i). O n i n t r o d u i t e n s u i t e une f o n c t i o n a u x i l i a i r e (§5) p o u r t e r m i n e r la d ~ m o n s t r a t i o n au §6.

Q u e l q u e s m o t s sur la d ~ m o n s t r a t i o n . On ne d i s p o s e pas, a c t u e l l e m e n t , de "lemme de p e t i t e s v a l e u r s " ( a n a l o g u e au t h ~ o r ~ m e de T i j d e m a n ) p o u r les p o l y n S m e s e x p o n e n t i e l s en p l u s i e u r s v a r i a b l e s . P o u r c e t t e r a i s o n les m ~ t h o d e s d ~ v e l o p p ~ e s d a n s [C, EI,E2,N, P I , R , W a r ~ ne s ' a p p l i q u e n t p a s i m m ~ d i a t e m e n t ici. On p o u r r a i t en r e v a n c h e u t i l i s e r la m ~ t h o d e de M a s s e r et ~ s t h o l z d a n s [M-W~, m a i s le r ~ s u l t a t s e r a i t l ~ g ~ r e m e n t m o i n s p r e c i s q u e n o t r e t h ~ o r ~ m e 1.2.

N o u s u t i l i s e r o n s ici un m ~ l a n g e de ces d i f f ~ r e n t e s m ~ t h o d e s , f a i s a n t i n t e r v e n i r ~ la fois u n c r i t ~ r e d ' i n d ~ p e n d a n c e a l g ~ b r i q u e , et u n l e m m e de z ~ r o s sous une forme r a f f i n ~ e d u e ~ M a s s e r et W ~ s t h o l z [M-W~. N o t r e d ~ m o n s t r a t i o n p e r m e t de t r a v a i l l e r a v e c un g r o u p e a l g ~ b r i q u e c o m m u t a t i f

q u e l c o n q u e (au l i e u de ~ ) . Nous i n d i q u e r o n s (sans d ~ m o n s t r a t i o n ) G

un r ~ s u l t a t d a n s c e t t e d i r e c t i o n au §7.

§2. Le c r i t ~ r e d ' i n d ~ p e n d a n c e a l q ~ b r i q u e et le c o e f f i c i e n t J . Q u a n d p 6 ~ E x I ... Xn] est un p o l y n S m e non nul en n v a r i a b l e s c o e f f i c i e n t s c o m p l e x e s , on n o t e H(P) sa h a u t e u r ( m a x i m u m des m o d u l e s de ses c o e f f i c i e n t s ) , d(P) le m a x i m u m de ses d e g r ~ s p a r t i e l s , et t(P) la t a i l l e de P :

t(P) = m a x ( l o g H ( P ) , l + d ( P ) ) .

S o i e n t 81 .... ,8 t des n o m b r e s c o m p l e x e s , t ~ 1 . O n d ~ s i g n e p a r

A ( 8 I, .... 8 t) l ' e n s e m b l e des n o m b r e s r ~ e l s ~ ~ 1 a y a n t la p r o p r i ~ t ~

s u i v a n t e : il e x i s t e u n e c o n s t a n t e T O ) 0 t e l l e q u e p o u r t o u t T ~ T O

et tout (~i ... ~t) 6 ~t v ~ r i f i a n t

m a x I @i-~il < e x p ( - 2 T ~ ) , l~ilt

il e x i s t e u n p o l y n S m e P E ~ X 1 ... Xt~ de t a i l l e ~ T a v e c

0 < I~(el ... ~t )I < exp(-T ~) •

Si l ' e n s e m b l e A ( @ 1 ... 8 t) est vide, on p o s e J ( 8 I, .... 8 t) = ! . S'il n ' e s t pas vide, on d ~ s i g n e p a r J(8 I, .... @t ) sa b o r n e s u p ~ r i e u r e .

Q u a n d K est un s o u s - c o r p s de ~ de d e g r ~ de t r a n s c e n d a n c e t ~ 1 sur ~ , on note J(K) la b o r n e s u p ~ r i e u r e des n o m b r e s J(e I .... ,st), q u a n d (81,...,#t) d ~ c r i t les b a s e s de t r a n s c e n d a n c e de K sur ~ . D u t h ~ o r ~ m e de [W-Z~ on d ~ d u i t

J(~) ~ 2 t

Le t h ~ o r ~ m e 1.2 est donc une c o n s & q u e n c e de l ' ~ n o n c ~ suivant T H E O R E M E 2.1. S o i e n t x I ... xd,Yl, .... y~ des 6 1 ~ m e n t s ' de ~n v~ri- fiant l ' h y p o t h ~ s e (i.i), et tels q u e les s o u s - q r o u p e s X = ~ X l + . . . + ~ x d e_~t Y = ~ Y I + . . . + Z y ~ s a t i s f a s s e n t ~(X)+b(Y) ~ 0 . S o i t K un sous- c o r d s de • , de d e q r 6 de t r a n s c e n d a n c e fini sur ~ , c o n t e n a n t les ~d n o m b r e s

sxp <xi,Yj> , ( 1 4 i { d , l ( j i e ) .

A l o r s

J(K) } b ( X ) ~ ( Y ) / ( ~ ( X ) + ~ ( Y ) )

Les m ~ t h o d e s d ~ v e l o p p ~ e s p a r R. Endell dans [E23 p o u r r a i e n t con- duire ~ une i n ~ g a l i t ~ stricte, au m o i n s d a n s le cas n = 1 .

Le t h ~ o r ~ m e 2.1 c o n t i e n t plus d ' i n f o r m a t i o n q u e le t h ~ o r ~ m e 1.2.

Par e x e m p l e q u a n d on s u p p o s e ~(X)~(Y) > ~(X)+~(Y) l ' i n ~ g a l i t ~ J(K) > 1 q u e l'on d ~ d u i t du t h ~ o r ~ m e 2.1 se t r a d u i t p a r un r ~ s u l t a t d ' a p p r o x i m a t i o n s i m u l t a n ~ e des ~d n o m b r e s e x p <xi,Yj> p a r des n o m b r e s a l g ~ b r i q u e s (cf. [W-Z] lemme 4.1).

§3. P e t i t e s p e r t u r b a t i o n s .

On c o n s i d ~ r e u n e e x t e n s i o n K de ~ de t y p e fini, et une b a s e de t r a n s c e n d a n c e @ l , . . . , S t de K sur Q . Soit St+ 1 6 K tel que

K = ~ ( @ i ... St+l), et soit B t ~ ( 8 1 ... 8t)[X~ le p o l y n S m e i r r ~ d u c t i b l e

u n i t a i r e de St+ 1 sur Q ( 8 1 .... ,et). Q u i t t e ~ m u l t i p l i e r et+ 1 p a r un

&l&ment non nul de l'anneau Ao = ~[81 ... 8t] (un "d6nominateur"

commun des coefficients de B), on peut supposer de plus B 6 A o [ X ] . Pour utiliser la d & f i n i t i o n de J (§2), on est amen& & consid&rer des 61&ments ~ l , . . . , ~ t de • , proches respectivement de 81 .... ,8 t :

max I 8i-~il < ~ • l~i~t

Pour ¢ > O suffisamment petit (d&pendant de e I .... ,St+l), le polynSme u n i t a i r e B(~ 1 ... e t , X ) E ¢[X] a exactement une racine ~ t + l ~ dis- tance minimale de St+ 1 , cette racine est simple, et

1St+ l - ~ t + l I ~ c~

o~ c ne d~pend que de @i' .... @t+l " On peut le voir p a r exemple en consid~rant le semi-r&sultant du polynSme B(~],..~,~t,X) avec lui- m~me (cf. [R] lemme 3.7). On note K le corps- Q ( e I ... ~ t + l ).

Prenons m a i n t e n a n t X l , . . . , x d , y l , . . . , y e dans ~n tels que les nombres 7ij = exp <xi,Y9) , (i { i £ d , 1 i j i e) a p p a r t i e n n e n t tous K w . On &crit ces nombres c o m m e des fractions rationnelles en

e l , . . . , @ t + 1 :

7ij = ~ (81 ... St+ I) , ( I l i a d , l l j l e ) 13

o~ aij et bij sont des &l&ments de ~[X I, .... Xt+l], non nuls au p o i n t @l,...,@t+l . Pour ~ suffisamment p e t i t (d&pendant de

81 , .... St+ 1 , et des aij et bij) les nombres aij(~l, .... ~ t + l ) et b i j ( ~ I, .... ~t+l ) sont tous diff&rents de O , et on peut d6finir

7ij = -i-~](8 I o i j ... St+l) E K , ( l { i l d , l ~ j l e ) On pose ensuite ~j = (~lj ... ~dj) 6 K ~d

( l l j l ~)

Q u a n d E est un sous-ensemble fini de ~*d , on note ~(E) le plus p e t i t des degr6s des polynSmes non nuls de ~ [ X 1 .... ,X d] qui s'annulent sur E (il s'agit du degr& total).

A u p a r a g r a p h e 6 on d & m o n t r e r a le r ~ s u l t a t suivant.

P R O P O S I T I O N 3.1. On suppose qu'il existe S ° > O tel que pour tout S ~ S ° @t pour tout (~i ... ~t) E ~t v&rifiant

max l@i-~il ~ exp(-S) ,

l~i~t

l e s o u s - e n s e m b l e ~(S) dee ~ d form& des &l&ments

3 71 "'" j=l 71j ....

v&ri fie

hj

,77 ~d~) ,

j=l

(h I ... h e) 6 ~ , Ox<hj x< S

(3.2) ~(~(S)) ~ (S/d) ~/d

S i X = ~ X l + . . . + ~ x d e__tt Y = ~yl+...+~y~ s a t i s f o n t ~(X) = d / n e__tt

~(Y) = ~/n , a!ors

J(81 ... @t ) ~ ed/n(~+d)

A u p a r a g r a p h e suivant on m o n t r e que la p r o p o s i t i o n 3.1 implique le t h ~ o r ~ m e 2.1.

§4. U t i l i s a t i o n de l ' h y p o t h ~ s e t e c h n i q u e (1.1).

M o n t r o n s d ' a b o r d qu'il n'y a pas de restriction, pour le t h ~ o r ~ m e 2.1, ~ s u p p o s e r ~(X) = d/n et ~(Y) = e/n . On se ram~ne d~j~ au cas o~

r a n g ~ = d et r a n g ~ = ~ , de m a n i ~ r e ~vidente. On utilise ensuite le lemme 5.2 de [Wal I] : il existe n' ~ I , X' ~ n ' et y, ~ @ n ' , avec r a n g ~ ' = d' , r a n g ~ ' = ~' , ~(X') = d'/n' ~ ( X ) , ~(Y') = £'/n' ~ ( Y ) , et ~ ' , Y ' > ~ <X,Y> . A l o r s

~'d'/n'(e'+d') ~ ~ ( X ) ~ ( Y ) / ( ~ ( X ) + ~ ( Y ) ) ,

et l ' h y p o t h ~ s e (i.i) p o u r X et Y i m p l i q u e la m~me h y p o t h ~ s e p o u r X' et Y'. Ainsi, q u i t t e ~ r e m p l a c e r X et Y p a r X' et Y', on p e u t s u p p o s e r ~(X) = d / n et ~(Y) = ~/n .

Pour d ~ d u i r e le t h ~ o r ~ m e 2.1 de la p r o p o s i t i o n 3.1, il ne reste plus q u ' ~ v ~ r i f i e r l ' h y p o t h ~ s e (3.2) en u t i l i s a n t (i.i). C'est l'objet du lemme suivant.

L E M M E 4.1. Soient Xl, .... x d , y l , . . . , y ~ des ~ l ~ m e n t s de ~n v ~ r i f i a n t la c o n d i t i o n (I.I), avec ~d >/n(~+d) et tels que X = ~ X l + . . . + ~ x d e_~t Y = ~YI+...+~y~ s a t i s f a s s e n t ~(X) = d / n e__tt ~(Y) = e/n . Soit ~ ) 0 .

Ii e x i s t e S O(¢) > O tel que pour tout S >IS o(~) et p o u r tout z i j E ~ , (ix<ix<d , Ix< jx< ~) avec

I z i j - (xi,Yj>l < exp(-S ~)

~ x

1,3 1 ' e n s e m b l e

E = { ( ~ e hjzlj ... ~ e h j Z d j ) E ~ X d ; (h I ... he) E 2[~ , O~<hj x<S}

j=l j=l

v~ r i fi e

~(E) ~ (S/d) ~/d D ~ m o n s t r a t i o n du l e m m e 4.1.

S u p p o s o n s q u e la c o n c l u s i o n ne s o i t pas v ~ r i f i ~ e . D ' u n l e m m e de z ~ r o s de M a s s e r [M~ on d ~ d u i t q u ' i l e x i s t e d e u x e n t i e r s r et k v ~ r i - f i a n t ik< r~< d , 1 { k ~ < ~ , ~ r + k d > ~d , il e x i s t e d e s ~ l ~ m e n t s

~ ( i ) ... l ( r ) de ~d , l i n ~ a i r e m e n t i n d ~ p e n d a n t s s u r ~ , a v e c

x(P) _{= (I~ p)" I (p)~} ( l ~ < p ~ < r ) , et e n f i n d e s ~ l ~ m e n t s h (I) ,h (k)

''''' d "" "''"

de ~ , l i n ~ a i r e m e n t ± i n d ~ p e n d a n t s s u r Z , a v e c h ( ~ ) = (h~ ~ ), . . .,h e( ~ )), (I~<~ ~<k), v ~ r i f i a n t

T T e ~ j ~ i j = ~ , ( 1 4 ~ < r , ~ < ~ < k ) .

i=l j=Z

De plus, le r a f f i n e m e n t de ce r ~ s u l t a t d o n n ~ p a r M a s s e r et ~ d s t h o l z d a n s [M-W] p e r m e t de c h o i s i r ces X(P) et ces h (~) de t e l l e s o r t e q u e

~ x x!P)I i (s/~) ~#/~

p o u r l l P ~ < r , l i ~ { k . P o u r

et

m a x lh!X)l-.< (S/d) ~ r / d l~<j{g 3

l ~ < p { r et I\<, ~<k , n o t o n s

d ~ h!~)

x ~ : F q ~ ! ° ) x , ~< : ~ yj

i= 1 l l j=l 3 '

1 d I !P) h ! ~)

m~,~ = n - ~ 7-7,7--;,

i=i j=l 1 3 ZiJ "

A i n s i m p , ~ 6 = , at Imp,kl ~ S 2~ p o u r S >/So(¢) s u f f i s a m m e n t g r a n d . S o i t s le r a n g de la m a t r i c e (mp,x)llp~r,l~<~Ik . On s u p p o s e q u e la n u m ~ r o t a t i o n des I(P) et des h (~) a ~ t ~ c h o i s i e de t e l l e s o r t e q u e le d ~ t e r m i n a n t de la m a t r i c e ( m p , x ) l ~ < p , ~ s ne s o i t p a s nul.

Ii e x i s t e d e s e n t i e r s r a t i o n n e l s ~ , ~ , ( 0 ~ < s , I ~ ~ ~<k) a v e c

~ 0 , ( l ~ < ~ k ) , et o , K

s

G o , ~ m p , ~ = ~=i~' GG' ~ m p , G , ( l ~ < p ~ < r , I ~ ~<k).

O n p e u t c h o i s i r p o u r G ~ , ~ d e s m i n e u r s de la m a t r i c e

(%, ~) 1~<#~<r, I~<.G ' do.c

I%,~I 4 sl s 2es ~< d: s 2~d ,

p o u r O ~ < G i S , 1 ~<~ ~ k . P o u r ~ < ~ ~<k , o n d ~ f i n i t

s

gl ! !

y~ = a o ~ Y~ - ~ , g ~ , ~ Y~

0 " = 1

A i n s i p o u r l ~ < p 4 r et s < z ~<k o n a

s

/ I t >

G = I d o n c

I <x~,y~)l < e x p ( - 2 S~) .

! .

L ' h y p o t h ~ s e (i.i) i m p l i q u e a l o r s <xp,y~) = 0 , p o u r 1 ~<p ~<r , s <%~< k . O n t e r m i n e la d 6 m o n s t r a t i o n c o m m e c e l l e d u l e m m e 5 . 4 de [Wal i] p o u r o b t e n i r u n e c o n t r a d i c t i o n .

§5. L~ f o n c t i o n a u x i l i a i r e .

S o i e n t d et n d e u x e n t i e r s , d ) n ~ 1 , Xl, .... x d des ~ l ~ m e n t s de ~ n , c O un n o m b r e r ~ e l s u f f i s a m m e n t g r a n d , T O un n o m b r e r ~ e l e n c o r e p l u s g r a n d . P o u r c h a q u e T ~ T O on d ~ f i n i t N , S , D , U p a r

T N ~+d S N d D c-i N ~ u n + l d+2 N e d + ~ + d

o o

E n f i n s o i t V ~ 2 5 c T . o

P o u r t = (t I ... tn) 6 ~n on n o t e Itl = ma

l ~ i ~ n Itil

P R O P O S I T I O N 5.1. Ii e x i s t e un p o l y n S m e n o n n u l F 6 ~ X I , . . . , X d] d__ee d e q r ~ ~ D en c h a q u e X i et de t a i l l e ~ c -I T t e l q u e i~ f o n c t i o n

o

Zl Zd)

~(Zl, .... z d) = F ( e ... e

v ~ r i f i e ~ p r o p r i ~ t ~ s u i v a n t e : p o u r t o u t z = ( Z l , . . . , z d) 6 ~d tel q u ' i l e x i s t e t = ( t l , . . . , t n) E ~ n a v e c

Itl ~ c O S , e__tt m a x Iz i - <xi,t>l ~ e - V

~i{d

on a

23 l~(z)l i e - U + e - ~ V D ~ m o n s t r a t i o n .

O n c o n s t r u i t le p o l y n S m e F de t e l l e s o r t e q u e la f o n c t i o n

~(t) = ~(<xl,t> ... <xd,t>)

s a t i s f a s s e

l~(t)l ^{{ e - U}

p o u r t o u t

o t h ~ o r ~ m e 3 . 1 de [ W a l i] a u x f o n c t i o n s

d

e x p <~--~, f i x i , t) , i = l

a v e c L = ([D]+I) d , r = c S , R = e r o

[ W a l i] §3 e s t ici c -I T).

o

M a i n t e n a n t s o i t t E ~n

a v e c I tl ~< c S

et s o i t

O

z = (z 1 . . . . , Z d ) 6 ~d a v e c

m a x Iz i - <xi,t>l 4 e -V

14i{d

On va v 6 r i f i e r

23 l e ( Z ) - ~ ( t ) l 4 e - ~ v

t 6 c n v 6 r i f i a n t Itl { c S . Ii s u f f i t d ' a p p l i q u e r le

( O x < l i 4 D ) , (le p a r a m 6 t r e n o t 6 S d a n s

On 6 c r i t

d I.

= i~=l X l

F ( X I ... Xd) ~ PX .= i "

a v e c I = (k 1 ... I d) , O i k . l ~<D . A l o r s

u I v l

~(Z) - ~(t) = ~ ~ (e -e ) k

o ~

d d

u I = ~ k i z i , v l = -~<21 f i x i , t) .

i=i i=i

M a i s p o u r u et v d a n s ~ on a

l eU e V 1 £ l eVl "e lu-vl.lu_vl D ' o ~

23 c T -V e-2-4V l # ( z ) - ~(t)l 4 L . e o .e 4

§6. F i n de la d ~ m o n s t r a t i o n de la p r o p o s i t i o n 5.1.

O n va d ' a b o r d m o n t r e r , sous les h y p o t h e s e s de la p r o p o s i t i o n 3.1, l ' i n ~ g a l i t ~ :

(6.1) J ( 8 1 ... e t) ~ ( ~ d + ~ + d ) / ( n + l ) ( ~ + d ) .

Comme J(81,...,8 t) ~ i , cela revient ~ c h o i s i r un nombre r~el v ~ r i f i a n t

1 ( 9 < (~d+~+d)/(n+l)(~+d) puis ~ construire, p o u r chaque T ~ T O et chaque v 6 r i f i a n t

(~1 . . . ~t ) E ct

max l ei-eil < e x p ( - 2 T ~) ,

14i<t

un p o l y n S m e non nul p 6 ~[Xl,...,Xt] de taille ~ T tel que 0 < I P(~ 1 ... ~t)l < exp(-T ~)

Posons ¢ = 1/14 . On commence par choisir comme au §3 la racine @t+l de B(~ 1 ... et,X) qui v6rifie

18t+l-et+iI < e x p ( - ( 2 - ~ ) T ~) , et ~ en d 6 d u i r e Yij 6 avec

l?ij-Yijl < e x p ( - ( 2 - 2 ¢ ) T ~)

Reprenons le polynSme F 6 ~[Xl, .... Xd] construit ~ la p r o p o s i t i o n 5.1.

L ' h y p o t h ~ s e (3.2) m o n t r e qu'il existe (h I ... h~) 6 ~ , 0 1 h j I S , tel que le nombre

~ h I ~h~

= F(71 ...7~ )

ne soit pas nul. On choisit z.. 6 ~ , (i { i l d , i I j ( ~ ) v ~ r i f i a n t z3

exp zij = ~ i j et

! z i j - <xi,Yj>l ~ e x p ( - ( 2 = 3 ~ ) T 9) Ainsi en p o s a n t

:Tq,

z i h j z i j , 9=1

on trouve { = @(z), et

( l { i i d ) , z : z I ... Zd), t = ~ h~y~j J j=l

Itl 4 c S et max I z . - <x ,t>l ~ e x p ( - ( 2 - 4 ¢ ) T ~)

o 14i4d 1 1

La p r o p o s i t i o n 5.1, avec V = (2-4~)T ~ , implique

0 < I{I < e x p ( - ( 2 - 5 c ) T 9)

On d6finit Q £ ~[X 1 ... Xt+ I] par

A i n s i

et donc

1 i=l j=l aij bij

~ ... 0~+ 1) = ~ ~ d IT bi~(e I ~ ~ ~ . . , ~ t + 1 ) b ] [ s . . . ] Q ( @ I

i=l j=l

0 < IQ(~I, .... ~ t + l )I < e x p ( - ( 2 - 6 ~ ) T ~) D ' a u t r e part

t(Q) ~( c I/2 DS = T/c I/2

o O

Posons R(X) = Q ( ~ I ... ~t,X). Si le p o l y n S m e R est constant, on p r e n d P ( X 1 ... X t) = Q ( X 1 ... Xt,~). Si deg R } I , on c o n s i d ~ r e le s e m i - r ~ s u l t a n t de R(X) et de B(01 ... Ot,X) ; on trouve ainsi (cf.

[W-Z] lemmes 2.3 at 2.4) un p o l y n S m e non nul p 6 ~[X1 ... Xt~, v ~ r i f i a n t t(P) { T et

0 < IP(~ I ... ~t)I ~ exp(-(2-7¢)T ~)

On en d~duit (6.1).

Pour t e r m i n e r la d ~ m o n s t r a t i o n de la p r o p o s i t i o n 3.1 on utilise l ' a s t u c e de L a n d a u - P h i l i p p o n [PI~ : on a p p l i q u e (6.1) aux s o u s - g r o u p e s

et yk de (~n)k pour k entier positif. L ' h y p o t h ~ s e (3.2) ~tant stable par p u i s s a n c e cart~sienne, on trouve

J(01 ... @t ) ~ (ked+~+d)/(kn+l)(~+d) , puis on fait tendre k vers l'infini.

§7. Compl~ments.

La d ~ m o n s t r a t i o n que nous venons de p r e s e n t e r permet d'~tudier, plus g~n~ralement, les s o u s - g r o u p e s ~ n p a r a m ~ t r e s de groupes alg~- b r i q u e s d~finis sur une e x t e n s i o n de @ de type fini. Nous n o u s conten- terons, ici, de d o n n e r une g ~ n ~ r a l i s a t i o n en p l u s i e u r s v a r i a b l e s du t h ~ o r ~ m e p r i n c i p a l de [M-W].

Soit e une f o n c t i o n e l l i p t i q u e de W e i e r s t r a s s d ' i n v a r i a n t s g2 ' g3 ' n ' a y a n t pas de m u l t i p l i c a t i o n complexe, et soient

X = ~ X l + . . . + ~ ~ et Y = ~YI+...+~y~ deux s o u s - g r o u p e s de type fini de

~n v ~ r i f i a n t la c o n d i t i o n t e c h n i q u e (I.I). Soit K le s o u s - c o r p s de

obtenu en a d j o i g n a n t ~ @ les nombres g2 ' g3 ' et les valeurs de P

aux points ~ i , Y j > , (I ~ i ~ d , 1 { j { ~) qui ne sont pas pSles de Enfin soit t le degr6 de transcendance de K sur @ .

THEOR~ME 7.1. S_~i ~(X)+b(Y) ~ 0 , alors

2 t ~ b(X)~(Y)/(2~(X)+~(Y))

P .

[c]

[Eli

[E2]

[M]

[M-W]

[pl]

[P2]

[Wal 1]

h a l 2]

[w-z]

[War]

Biblioqraphie

G.V. CUDNOVSKII.- Some analytic methods in the theory of trans-

cendental numbers. Inst. Math., Ukr S.S.R. Acad. Sci., Preprints IM 74-8 et 74-9, Kiev 1974.

R. ENDELL.- Zur algebraischen Unabh~ngigkeit gewisser Werte der Exponentialfunktion (nach Chudnovsky). Diplomarbeit, DUsseldorf, 1981.

R. ENDELL.- Zur algebraischen Unabhingigkeit gewisser Werte der Exponentialfunktion, 1983, Noordwijkerhout, m~me volume.

D.W. MASSER.- On polynomials and exponential polynomials in several complex variables. Invent. Math., 63 (1981), 81-95.

D.W. M A S S E R and G. WUSTHOLZ.- Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions. Invent. Math., 72 (1983), 407-464.

Ju.V. NESTERENKO.- On the algebraical independence of algebraic numbers to algebraic powers, in : "Approximations diophantiennes et nombres transcendants". Luminy 1982, Progress in Math. 31, Birkh~user (1983), 199-220.

P. PHILIPPON.- Ind~pendance alg~brique des valeurs de fonctions exponentielles p-adiques. J. reine angew. Math., 329 (1981), 42-51.

P. PHILIPPON.- Pour une th~orie de l'ind~pendance alg~brique.

Th~se, Orsay, 1983 (4 para~tre).

E. REYSSAT.- Un crit~re d'ind~pendance alg~brique. J. reine angew. Math., 329 (1981), 66-81.

M, WALDSCHMIDT.- Transcendance et exponentielles en plusieurs variables. Invent. Math., 63 (1981), 97-127.

M. WALDSCHMIDT.- Algebraic independence of transcendental numbers. Gel'fond's method and its developments, ~ para~tre.

M. WALDSCHMIDT et Z H U Y a o Chen.- Une g~n~ralisation en plusieurs variables d'un crit~re de transcendance de Gel'fond, C. R. Acad.

Sc. Paris, Ser. I, 297 (1983), 229-232.

P. WARKENTIN.- AlgebraischeUnabh~ngigkeit gewisser p-adischer Zahlen. Diplomarbeit, Freiburg i. Br., 1978.

Michel WALDSCHMIDT Institut Henri Poincar~

II, rue Pierre et Marie Curie

75231 PARIS C E D E X 05