Sup PCSI2 — Contrˆole 1995/07
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie.
Qu’on se le dise.
Partie I
◮Pourn∈N, notons n: t∈[0,1]7→tn√
1−t2 etn = Z 1
0
n(t)dt.
Q1 La suite (n)n∈Nest-elle monotone ?
Q2 Montrez que la suite (n)n∈N converge et pr´ecisez sa limite.
Q3 Calculez 0au moyen d’un changement de variablehhtrigonom´etriqueii. Q4 Calculez 1en observant la d´eriv´ee det∈[0,1]7→(1−t2)3/2.
Q5 Simplifiez n = Y
16k6n
(2k−1) ; le r´esultat ne devra comporter que des factorielles et des puissances de 2, `a l’exclusion de tout symboleQ
. Vous v´erifierez l’exactitude de la formule trouv´ee, pourn∈[[1,3]].
Q6 Au moyen d’une int´egration par parties soigneusement justifi´ee, exprimez n+2 en fonction de n. En d´eduire la valeur dek pourk∈[[2,5]].
Q7 En d´eduire l’expression de 2, puis celle de 2+1; le r´esultat ne devra comporter que des factorielles, des puissances de 2, et au besoin le nombreπ. V´erifiez que les formules obtenues concordent avec les valeurs de
k obtenues `a la question pr´ec´edente.
Q8 Simplifiez2×2+1, puis donnez un ´equivalentsimple de cette quantit´e lorsquentend vers l’infini.
Q9 Justifiez l’affirmation suivante :n+1 est ´equivalent `an lorsquentend vers l’infini.
Q10 En d´eduire un ´equivalentsimple den lorsquentend vers l’infini.
Partie II
Q11 Soitn>1. ´Etudiez rapidement les variations den.
◮L’´etude pr´ec´edente montre que l’´equation′n(t) = 0 poss`ede, dans l’intervalle ]0,1[, une et une seule solution, que nous noteronsn.
Q12 Tracez dans un mˆeme rep`ere (unit´e : 10 cm) les courbes repr´esentatives de1,2 et3. Q13 Donnez un ´equivalentsimple de 1−n lorsquentend vers l’infini.
Q14 Nous noteronsn=n(n). Donnez un ´equivalentsimple den lorsquentend vers l’infini. Retrouvez alors l’un des r´esultats de Q2.
Q15 Justifiez l’existence du r´eeln= tan¡
arcsin(n)¢
. Donnez ensuite une expressiontr`es simple den. Partie III
◮Notonsn: t∈[0,1]7→ X
06k6n
k(t) et : u∈[0,1]7→ 4u2 (1 +u2)2.
Q16 Calculez la limite den(t) lorsquentend vers l’infini ; vous distinguerez deux cas selon la valeur det∈[0,1].
◮Cette limite d´epend det∈[0,1]. Nous la noterons (t).
Q17 La fonction est-elle continue sur [0,1] ?
Q18 Pourx∈[0,1[, ´etablissez, au moyen d’un changement de variable ou par toute autre m´ethode : Z x
0
(t)dt= Z (x)
1
(u)du
1
Q19 En remarquant que (u) = (−2u)×
µ −2u (1 +u2)2
¶
, calculez Z b
a
(u)du, pour 06a6b <1.
Q20 En d´eduire la valeur, pourx∈[0,1[, de : ϕ(x) =
Z x
0
(t)dt−2 arctan¡ (x)¢
+p 1−x2 Q21 Calculez la limite de
Z x
0
(t)dt, lorsquextend vers 1 par valeurs inf´erieures.
Q22 Calculez la limite, quandntend vers l’infini, de :
n= 1 n
X
06k<n
r2n+k 2n−k
Partie IV
◮Rappel : la fonctionf : I7→Rest convexe si elle v´erifie f¡
(1−λ)x+λy¢
6(1−λ)f(x) +λf(y) et ce, quels que soient (x, y)∈I2 etλ∈[0,1]. f est concave si−f est convexe.
◮Deuxi`eme rappel : une CNS pour quef : I7→Rsoit convexe est que, pour toute famille (xk)16k6nd’´el´ements deI, et toute famille (λk)16k6n d’´el´ements de [0,1] v´erifiant P
16k6n
λk = 1 :
f µ
X
16k6n
λkxk
¶
6 X
16k6n
λkf(xk)
◮Troisi`eme rappel :f ∈ D2(I,R) est convexe ssif′′>0.
Q23 Explicitez′′1(t) ; en d´eduire que1 est concave sur [0,1[, puis sur [0,1].
Q24 Pourn>1, notonsn= X
16k6n
kp
n2−k2. En utilisant le r´esultat pr´ec´edent, ´etablissez la majoration :
n6n(n+ 1)√
3n2−2n−1 4
Q25 Soitn>2. Calculez′′n(t), pourt∈[0,1[ ; vous ´ecrirez le r´esultat sous la forme :
′′
n(t) = tn−2 (1−t2)3/2n(t) o`u n est une fonction polynˆome ; vous donnerez l’expression den(t).
Q26 Montrez que l’´equationn(t) = 0 poss`ede dans l’intervalle ]0,1[ une et une seule solution, que nous noterons
n.
Q27 Que pouvez-vous dire alors, concernant la convexit´e den? Q28 Quelle est la limite den lorsquentend vers l’infini ?
Q29 Proposez un ´equivalentsimple den lorsquentend vers l’infini.
Q30 Que pensez-vous de la pr´ecision de la majoration ´etablie `a la question 24 ?
Sure there are dishonest men in local government. But there are dishonest men in national government too.
Richard M. Nixon
[Contr^ole 1995/07] Compos´e le 7 mars 2008
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