1 EXERCICE N°1
Déterminer l’entier qui figure dans la 2009
èmeposition de la suite infinie suivante : 1°) 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , ……
2°) 4 , 3 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , ……
EXERCICE N°2
Soit ( ) u
n n∈Nune suite arithmétique de raison r et de premier terme U
0. 1°)Calculer u
10sachant que : u
0= 2 et r = 2 .
2°) Calculer u
0sachant que : u
5= 10 et r = 2 . 3°) Calculer r sachant que : u
2= 1 et u
4= 8 .
4°)Calculer u
0et r sachant que : u
7= 45 et u
10+ u
11= 132 EXERCICE N°3
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
+
=
=
++
1 n n 1
n 0
3 u . 3 u
1 u
1°)Calculer u
1, u
2et u
3.
2°)On pose, pour tout entier naturel n : v
n=
n n
3 u .
Montrer que (v
n) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison .
3°)Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n . EXERCICE N°4
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
−
= −
=
+
u 3
4 u u
1 u
n n 1 n
0
(On suppose que , pour tout entier naturel n : u
n≠ 3 et u
n≠ 2) 1°) Calculer u
1, u
2et u
3. u est-elle une suite arithmétique ? 2°) On pose, pour tout entier naturel n : v
n=
2 u
u 1
n n
−
− .
Montrer que (v
n) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison .
3°)Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n . EXERCICE N°5
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
+ +
=
=
+1 n
n 0
u n 2 1 u
2 u
1°) Calculer u
1, u
2et u
3. u est-elle une suite arithmétique ? 2°) Exprimer u
nen fonction de n .
EXERCICE N°6
Soit (u
n) la suite réelle définie sur N
*par : u :
+
=
=
+ 2
n 1
n 1
u 1 u
3 u
(On suppose que , pour tout entier naturel n : u
n≥ 0) 1°) Calculer u
2, u
3et u
4. u est-elle une suite arithmétique ? 2°) On pose, pour tout entier naturel n non nul : v
n= u
n2Montrer que (v
n) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison .
3°)Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n . EXERCICE N°7
1°)Calculer les sommes suivantes : S = 1 + 3 +5 + 7 + …. + 2007 T = 2 + 4 + 6 + 8 + ……+ 2006
2°)En déduire la valeur de la somme :
F = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …….. – 2006 + 2007
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2 EXERCICE N°8
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
+ +
=
=
+
2
n 5 2 u u
1 u
n 1 n
0
Montrer que ( ) u
n n∈Nest une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison . EXERCICE N°9
Soit ( ) u
n n∈Nune suite géométrique de q et de premier terme u
0. 1°)Calculer u
10sachant que : u
0= 1 et q = -2 .
2°) Calculer u
0sachant que : u
5= 2 et q = 8 . 3°) Calculer q sachant que : u
2= 7 et u
4= 2 . EXERCICE N°10
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
+
=
−
=
+
5 . u 8 u
2 u
n 1 n
0
1°) Calculer u
1, u
2et u
3. u est-elle une suite géométrique ? 2°) On pose, pour tout entier naturel n : v
n= u
n+ 2
Montrer que (v
n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison .
3°)Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n . EXERCICE N°11
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
+
=
=
+
4 . u 9 u
1 u
n 1 n
0
1°) Calculer u
1, u
2et u
3. u est-elle une suite géométrique ?
2°) On pose, pour tout entier naturel n : v
n= u
n- a , où a est un réel .
Déterminer le réel a pour que (v
n) soit une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison . 3°)Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n .
4°)Calculer en fonction de n :
S
n= v
0+ v
1+ v
2+ …..+ v
net T
n= u
0+ u
1+ u
2+ ….. + u
n. EXERCICE N°12
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
= −
=
+
n n 1 n
1
u 2
1 u u 3
4 3 u
(On suppose que , pour tout entier naturel n , non nul : u
n≠ 0 et u
n≠ 1) 1°) Calculer u
2, u
3et u
4. u est-elle une suite géométrique ?
2°) On pose, pour tout entier naturel n non nul : v
n= 1 u
u . 2 1
n n
−
− .
Montrer que (v
n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison .
3°)Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n .
4°) Calculer en fonction de n : S
n= v
1+ v
2+ v
3+ …..+ v
nEXERCICE N°13
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
+
=
=
+ n
n 1 n
0
3 . 7 u . 2 u . 3
1 u
Montrer que ( ) u
n n∈Nest une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison . EXERCICE N°14
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
+
=
=
+
3 . u n u
2 u
n 1 n
0
1°) Calculer u
1, u
2et u
3. u est-elle une suite géométrique , arithmétique ? 2°) On pose, pour tout entier naturel n : v
n= u
n- a.n + b , où a , b deux réels .
Déterminer les réels a et b pour que (v
n) soit une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison .
3°)Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n .
4°)Calculer en fonction de n ∈ N
*: S
n= v
1+ v
2+ …..+ v
net T
n= u
1+ u
2+ ….. + u
n.
3 EXERCICE N°15
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
= +
=
=
+ +
2 u u u
1 u 4 u
1 n n 2 n
1 0
1°) Calculer u
2, u
3et u
4. u est-elle une suite géométrique , arithmétique ? 2°) Montrer que pour tout entier n : on a : u
n+1= -
2 u
n+ 3
3°) On pose, pour tout entier naturel n : v
n= u
n- a , où a est un réel .
Déterminer le réel a pour que (v
n) soit une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison . 3°)Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n .
EXERCICE N°16
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
+
=
=
=
+
u 1
u
0 u u
n 2 n
1 0
1°) u est-elle une suite arithmétique ? 2°) ( ) u
2n n∈Nest-elle une suite arithmétique ? ( u
2n+1)
n∈Nest-elle une suite arithmétique ? 3°) Calculer la somme : S = u
0+ u
1+ u
2+ ….. + u
100. 4°) Montrer que pour tout entier n : on a : u
n+1= - u
n+ n
5°) On pose, pour tout entier naturel n : v
n= u
n- a.n + b , où a , b deux réels .
Déterminer les réels a et b pour que (v
n) soit une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison .
6°) Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n . EXERCICE N°17
Soit ( ) u
n n∈Nla suite réelle définie par : u :
−
= +
=
+
u 1
5 u u
7 u
n n 1 n
0
(On suppose que , pour tout entier naturel n , non nul : u
n≠ 1)
1°) Calculer u
1, u
2et u
3. u est-elle une suite géométrique , arithmétique ? 2°) Montrer que pour tout entier n : on a : u
n+2= u
n3°)Montrer que , pour tout entier naturel n : u
n+1+ u
n= 9 4°)On pose, pour tout entier naturel n : v
n= u
n+1- u
nMontrer que ( ) v
n n∈Nest une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison .
5°) Exprimer alors v
npuis u
nen fonction de n . EXERCICE N°18
Soit n un entier naturel .On note par :
i
n: le nombre des entiers naturels impairs compris entre 0 et n . p
n: le nombre des entiers naturels pairs compris entre 0 et n . 1°)Calculer i
0, p
0,i
1, p
1,i
2et p
22°)Expliquer pourquoi : ∀ n ∈ N : i
n+2= i
n+ 1 . 3°)Montrer que : ∀ n ∈ N : i
n+1= -i
n+ n.
4°)Soit V la suite réelle définie par : ∀ n ∈ N : v
n= (-1)
n.i
n(a) Montrer que : ∀ n ∈ N :v
n+1– v
n= a
noù a
n= n(-1)
n+1. (b) Montrer que : ∀ n ∈ N : a
n+1+ a
n= (-1)
n.
(c) Soit , pour tout n entier naturel : s
n= a
0+ a
1+ a
2+….+ a
n. Montrer que : s
n=
4 ) 1 ( 1 + −
n- 2 1 a
n+1. (d) En déduire v
npuis i
nen fonction de n . 5°)En déduire p
nen fonction de n.
6°)En déduire le nombre des entiers naturels impairs (respectivement pairs )compris entre p et q. où p et q deux entiers naturels ( p ≤ q).
EXERCICE N°19
Un paysagiste doit créer dans un jardin une spirale plantée de petits arbustes.
Il veut connaître la longueur de cette spirale pour évaluer le nombre d'arbustes à planter.
Voici le schéma qu'il dresse :
4 Cette spirale est constituée de demi-cercles construits de la manière suivante :
- le diamètre [A
0A
1] du demi-cercle C
0a pour milieu A
2; - le diamètre [A
1A
2] du demi-cercle C
1a pour milieu A
3;
Ainsi de suite on construit les demi-cercles Cn (n est un entier naturel).
L'unité de longueur est le mètre. On donne A
0A
1= 100.
1. On note ln la longueur du demi-cercle Cn. (l’unité est le mètre).
(a) Calculer l
0, l
1, l
2et l
3.
(b) Exprimer ln+1 en fonction de ln. Indiquer la nature de la suite (ln) en précisant sa raison.
(c) Montrer que, pour tout entier n, ln = 50 π
1 2
n
