1) Montrons que la suite (un)n∈N est décroissante : un−un+1 = 2n+ 3 n+ 1 − 2 (n+ 1

3.12 Calculons les premiers termes de la suite : u1 = ^2·1+3₁₊₁ = ⁵₂ = 2,5

u2 = ^2·2+3₂₊₁ = ⁷₃ ≈2,33 u3 = ^2·3+3₃₊₁ = ⁹₄ = 2,25 u4 = ^2·4+3₄₊₁ = ¹¹₅ = 2,2 u5 = ^2·5+3₅₊₁ = ¹³₆ ≈2,17 u6 = ^2·6+3₆₊₁ = ¹⁵₇ ≈2,14 u7 = ^2·7+3₇₊₁ = ¹⁷₈ = 2,125

Au vu de ces résultats, il semblerait que la suite (uⁿ)^n∈N soit décroissante et minorée par2.

1) Montrons que la suite (uⁿ)ⁿ∈N est décroissante : un−un+1 = 2n+ 3

n+ 1 − 2 (n+ 1) + 3

(n+ 1) + 1 = 2n+ 3

n+ 1 −2n+ 5 n+ 2

= (2n+ 3) (n+ 2)−(2n+ 5) (n+ 1) (n+ 1) (n+ 2)

= 2n²+ 4n+ 3n+ 6−2n²−2n−5n−5 (n+ 1) (n+ 2)

= 1

(n+ 1) (n+ 2) >0

2) Prouvons que la suite (uⁿ)ⁿ∈N est minorée par 2: un−2 = 2n+ 3

n+ 1 −2 = 2n+ 3−2 (n+ 1)

n+ 1 = 2n+ 3−2n−2

n+ 1 = 1

n+ 1 >0 Puisque toute suite décroissante et minorée converge, on conclut que la suite (uⁿ)ⁿ∈N converge.

Analyse : limite et convergence d’une suite Corrigé 3.12