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1) Montrons que la suite (un)n∈N est décroissante : un−un+1 = 2n+ 3 n+ 1 − 2 (n+ 1

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Academic year: 2022

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(1)

3.12 Calculons les premiers termes de la suite : u1 = 2·1+31+1 = 52 = 2,5

u2 = 2·2+32+1 = 73 ≈2,33 u3 = 2·3+33+1 = 94 = 2,25 u4 = 2·4+34+1 = 115 = 2,2 u5 = 2·5+35+1 = 136 ≈2,17 u6 = 2·6+36+1 = 157 ≈2,14 u7 = 2·7+37+1 = 178 = 2,125

Au vu de ces résultats, il semblerait que la suite (un)n∈N soit décroissante et minorée par2.

1) Montrons que la suite (un)n∈N est décroissante : un−un+1 = 2n+ 3

n+ 1 − 2 (n+ 1) + 3

(n+ 1) + 1 = 2n+ 3

n+ 1 −2n+ 5 n+ 2

= (2n+ 3) (n+ 2)−(2n+ 5) (n+ 1) (n+ 1) (n+ 2)

= 2n2+ 4n+ 3n+ 6−2n2−2n−5n−5 (n+ 1) (n+ 2)

= 1

(n+ 1) (n+ 2) >0

2) Prouvons que la suite (un)n∈N est minorée par 2: un−2 = 2n+ 3

n+ 1 −2 = 2n+ 3−2 (n+ 1)

n+ 1 = 2n+ 3−2n−2

n+ 1 = 1

n+ 1 >0 Puisque toute suite décroissante et minorée converge, on conclut que la suite (un)n∈N converge.

Analyse : limite et convergence d’une suite Corrigé 3.12

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