1 S TD 9 : Exercices sur les suites 2015-2016
EXERCICE 1 :
Calculer les quatre premiers termes des suites définies par leur formule explicte.
1. ⊲ Pour tout entier natureln, un= 3n2−n+ 2 ;
⊲ Pour tout entier natureln>1,vn= 2n+ 3 n ;
⊲ Pour tout entier natureln>2,wn=√ n−2 ; 2. Pour chacune de ces suites, calculerun+1.
• • • EXERCICE 2 :
(un)n∈N est la suite définie parun= (n+ 2)2.
Démontrer queun+1=un+ 2n+ 5 pour tout entier natureln.
• • • EXERCICE 3 :
On considère la suite (un)n∈Ndéfinie parun= 2n n+ 1.
1. Conjecturer un intervalle contenant l’ensemble des termes de la suite (un)n∈N. 2. Démonter que, pour tout entier natureln, on a
un−2 =− 2 n+ 1 En déduire la démonstration de la conjecture.
• • • EXERCICE 4 :
On considère la suite (un)n∈Ndéfinie parun= 2 4n2+ 8n+ 3. 1. Montrer que, pour toutn∈N,un= 1
2n+ 1 − 1 2n+ 3. 2. En déduire l’expression deSn =u0+u1+. . .+un. 3. Conjecturer, voire démontrer, la limite de la suite (Sn)n∈N.
• • • EXERCICE 5 :
On admet que la suite (un)n∈N définie parun+1= 3un+ 1 un
etu0= 1 est à termes strictement positifs.
1. Hors programme: démontrer queun>0 pour toutn∈N. 2. Démontrer que la suite (un)n∈Nest croissante.
3. On construit la suite (vn)n∈Ndéfinie parvn=un
3n. Démontrer que
∀k∈N, vk+1−vk6 1 3k+1 Quel est le sens de variation de la suite (vn)n∈N.
4. Déduire de la question précédente que
∀n∈N, vn−v06 1 3+
1
3 2
+. . .+
1
3 n
Montrer alors que, pour tout n ∈ N, vn 6 3
2 (on dit alors que (vn)n∈N est majorée par 3
2). Que peut-on en déduire pour (vn)n∈N?
Une formule : pour toutq6= 1, 1 +q+q2+. . .+qn−1=1−qn 1−q Un théorème : toute suite croissante et majorée converge.
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