Devoir surveillé n° 3 Exercice 1 Partie A On considère une suite

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Devoir surveillé n°3 - correction 1/3 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Devoir surveillé n° 3

Exercice 1 Partie A

On considère une suite

( )

^un positive et la suite

( )

^vn définie par vn= un

1+u_n.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple.

1. ┐n, 0ÂvnÂ1

La proposition est vraie. Démonstration :

┐n,0Â u_nÂun+1 donc en divisant chaque mbre de l’inégalité par u_n+1>0, on a 0Â un

un+1Â1 càd 0Âv_nÂ1 2. Si la suite

( )

^un est convergente, alors la suite

( )

^vn est convergente.

La proposition est vraie. Démonstration :

Supposons

( )

^un convergente. Soit l sa limite alors lim

n↔+õu_n= lÃ0 et lim

n↔+õu_n+1=l+1>0 d’où d’après les règles opératoires sur les limites, lim

n↔+õ

u_n

u_n+1 = l l+1 Càd lim

n↔+õv_n= l

l+1 ☻ Ë donc

( )

^vn converge.

3. Si la suite

( )

^un est croissante, alors la suite

( )

^vn est croissante.

La proposition est vraie. Démonstration : Supposons

( )

^un croissante On a vn+1−v_n= un+1

un+1+1− un

u_n+1=un+1×

(

^un+1

)

−u_n×

(

^un+1+1

) (

^un+1+1

)

^×

(

^un+1

)

⁼

un+1−un

(

^un+1+1

) (

^un+1

)

Or,

( )

^un est une suite positive donc

(

^un+1+1

) (

^un+1

)

^{>0 et}

( )

^un est supposée croissante donc un+1−unÃ0 Donc vn+1−v_nÃ0 d’où

( )

^vn est croissante.

4. Si la suite

( )

^vn est convergente alors la suite

( )

^un est convergente.

La proposition est fausse. Contre exemple :

Soit

( )

^un la suite définie par un=n alors

( )

^un est une suite positive et quelque soit n, vn= un

1+u_n= n

1+n donc lim

n↔+õvn= lim

n↔+õ

n

n =1 càd que

( )

^vn converge. Or, lim

n↔+õun= lim

n↔+õn=+õ donc

( )

^un diverge.

Partie B

Soit

( )

^{un et}

( )

^vn deux suites adjacentes avec

( )

^un croissante et

( )

^vn décroissante.

Alors d’après le résultat (2), on a pour tout entier naturel n : u₀Âu1Â…ÂunÂun+1Âv_n+1Âv_nÂ…Âv₁Âv0 Ainsi,

( )

^un est croissante et majorée par v0 donc d’après le résultat (3),

( )

^un est convergente. Soit l sa limite.

De même,

( )

^vn est décroissante et minorée par u0 donc d’après (3),

( )

^vn est convergente. Soit l′ sa limite

( )

^{un et}

( )

^vn sont convergentes donc d’après les règles opératoires sur les limites, lim

n↔+õun−v_n= lim

n↔+õun− lim

n↔+õvn=l−l′. Or, lim

n↔+õun−v_n=0 donc l−l′=0 donc l=l′.

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur [0;2] par f( x)=2x+1 x+1 .

1. Etudions la fonction f sur [0;2] et montrons que f est stable sur [1;2].

f est la restriction sur [0;2] d’une fonction rationnelle, donc elle est dérivable sur l’intervalle [0;2]

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Devoir surveillé n°3 - correction 2/3 et ┐x☻[0;2], on a : f ′( x)=2×( x+1)−(2x+1)

( x+1)² = 1

( x+1)²>0 .

f est donc strictement croissante sur [0;2]. Ainsi si 1ÂxÂ2 alors f(1)Âf( x)Âf(2).

Or, f(1)=3

2Ã1 et f(2)=5 3Â2.

Ainsi si x☻[1;2], on a f( x)☻[1;2]

2. Soit

( )

^{un et}

( )

^vn définies par



u0=1

un+1=f

( )

^{un et} 

v0=2 vn+1=f

( )

^vn

a. D’après le graphique, on peut conjecturer que la suite

( )

^un est croissante, que la suite

( )

^vn est décroissante, et que les suites

( )

^{un et}

( )

^vn sont convergentes et convergent vers la même limite.

(cf. Graphique à la fin)

b. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 1Âv_nÂ2.

On sait que v₀=2 donc 1Âv₀Â2. La propriété est vraie pour n=0.

On suppose alors que la propriété est vraie pour un entier naturel p et on va montrer qu’elle est vraie pour l’entier p+1.

On suppose donc que pour un entier p, on a : 1ÂvpÂ2 et on veut montrer que 1Âv_p+1Â2 1ÂvpÂ2, on déduit donc d’après 1. que 1Âf

( )

^{vp Â2. Or vp+1=f}

( )

^{vp donc 1Âvp+1Â2.}

On déduit que la propriété est héréditaire et puisqu’elle est vraie pour n=0,on déduit que pour tout entier naturel n, 1Âv_nÂ2

Montrons à présent par récurrence que pour tout entier naturel n, v_n+1Âv_n.

v1=f

( )

^{v0 =f(2)=5}₃ ^{et 5}₃<2 donc v₁Âv₀, la propriété est donc vraie pour n=0.

On suppose alors que la propriété est vraie pour un entier naturel p et on va montrer qu’elle est vraie pour l’entier p+1.

On suppose donc que pour un entier naturel p, vp+1Âvp et on va montrer que vp+2Âvp+1

f est croissante sur [1;2] et ┐n☻IN,v_n☻[1;2], donc comme v_p+1Âv_p, on a f

(

^vp+1

)

^Âf

( )

^{vp càd que}

vp+2Âv_p+1.

On déduit donc que la propriété est héréditaire et puisqu’elle est vraie pour n=0, on déduit que pour tout entier naturel n, vn+1Âvn.

c. i. ┐n, v_n+1−un+1=f

( )

^{vn −f}

( )

^{un =2v}_vⁿ⁺¹

n+1 −2un+1

un+1 =

(

^2vn+1

) (

^un+1

)

−

(

^2un+1

) (

^vn+1

) (

^vn+1

) (

^un+1

)

= 2v_nu_n+2v_n+u_n+1−2u_nv_n−2u_n−v_n−1

(

^vn+1

) (

^un+1

)

= v_n−u_n

(

^vn+1

) (

^un+1

)

Ainsi pour tout entier naturel n, on a : vn+1−un+1 = v_n−u_n

(

^vn+1

) (

^un+1

)

. ii. Montrons par récurrence que pour tout entier n, v_n−u_nÃ0

v0−u0=2−1=1>0. La propriété est vraie pour n=0.

Supposons que la propriété est vraie pour un entier naturel p et montrons qu’elle est vraie pour l’entier p+1. On suppose donc que v_p−u_pÃ0 et on va montrer que vp+1−u_p+1Ã0.

Or, 1Âv_pÂ2 et 1ÂupÂ2 d’après b. donc v_p+1>0 et u_p+1>0, donc 1

(

^vp+1

) (

^up+1

)

^>0

De plus, par hypothèse de récurrence vp−u_pÃ0 donc vp−up

(

^vp+1

) (

^up+1

)

^{Ã0 cad vp+1−up+1Ã0}

La propriété est donc héréditaire et puisqu’elle est vraie pour n=0, on déduit donc par récurrence que pour tout entier naturel n, v_n−u_nÃ0.

iii. Montrons que ┐n, v_n+1−un+1Â1

4

(

^vn−un

)

On sait que 1ÂvnÂ2 et 1ÂunÂ2 donc 2Âv_n+1Â3 et 2Âun+1Â3

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Devoir surveillé n°3 - correction 3/3 donc 2×2Â

(

^vn+1

) (

^un+1

)

^{Â3×3 d’où 1}₉^{Â 1}

(

^vn+1

) (

^un+1

)

^Â

1 4 On déduit en multipliant par v_n−u_nÃ0 que ┐n, vn−u_n

(

^vn+1

) (

^un+1

)

^Â

1

4

(

^vn−u_n

)

càd vn+1−u_n+1Â1

4

(

^vn−u_n

)

d. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, vn−unÂ



1 4

n

. v₀−u₀=1 et





1 4

0=1. La propriété est donc vraie pour n=0.

Supposons que la propriété est vraie pour un entier naturel p et montrons qu’elle est vraie pour l’entier p+1. On suppose donc que v_p−upÂ



1 4

p

et on va montrer que vp+1−u_p+1Â



1 4

p+1

. D’après c.iii., v_p+1−u_p+1Â1

4(v_p−u_p) et par hypothèse de récurrence v_p−u_pÂ





1 4

p

Donc vp+1−u_p+1Â1

4

(

^vp−up

)

^Â1_4^1_4^{p d’où vp+1−up+1Â}_^1_4^p+1

La propriété est donc héréditaire et puisqu’elle est vraie pour n=0, on déduit donc par récurrence que pour tout entier naturel n, v_n−u_nÂ





1 4

n

.

e. Montrons que les suites

( )

^{un et}

( )

^vn convergent vers un même réel α qu’on déterminera.

On sait que 0Âv_n−unÂ



1 4

n. Or, 0<1

4<1donc lim

n↔+õ



1 4

n=0,

Donc, on déduit d’après le théorème des gendarmes que lim

n↔+õvn−u_n=0.

Ainsi, la suite

( )

^un est croissante, la suite

( )

^vn est décroissante et lim

n↔+õv_n−u_n=0, donc les suites

( )

^{un et}

( )

^vn

sont des suites adjacentes.

Les suites

( )

^{un et}

( )

^vn sont donc convergentes et convergent vers la même limite α Déterminons α.

┐n,1ÂunÂ2 et 1Âv_nÂ2 donc 1ÂαÂ2.

On sait que f est dérivable donc continue sur [0;2] donc en α. Donc α= lim

n↔+õun+1= lim

n↔+õf

( )

^{un = lim} _X↔α^{f( X)=f(α)}

On déduit que α est solution de l’équation f( x)=x dans [1;2].

Or, f( x)=x ñ 2x+1

x+1 =x et x☻[0;2]ñ 2x+1=x(x+1) et xý-1 et x☻[0;2]

ñ x²−x−1=0 et x☻[0;2].

Posons P( x)=x²−x−1.

∆=1+4=5>0 donc P admet deux racines x₁ = 1− 5

2 <0 et x2=1+ 5

2 avec x2☻[1;2].

Les suites

( )

^{un et}

( )

^vn convergent donc vers 1+ 5 2 .

u₂

1 1.5

1 1.5

0 0.5

0.5

x y

u0 u1

u₂₂ 2 x

v0

v1 2