Première S2 Exercices sur le chapitre 5 : E1. 2007 2008
E1 Savoir travailler avec des fonctions paires.
N ° 1
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple ( exemple contredisant la proposition ).
A ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x est paire. Cette proposition est vraie.
En effet, pour tout x réel, - x ∈ et −x = x .
B ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x² − 1 est paire. Cette proposition est vraie.
En effet, pour tout x réel, - x ∈ et f ( - x ) = ( -x )² − 1 = x² − 1 = f ( x ).
C ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x est paire. Cette proposition est fausse.
Si 2 ∈ [ 0 ; + ∞ [ alors - 2 n'appartient pas à l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.
Remarque l'intervalle de définition n'est pas symétrique par rapport à 0…
D ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x + 1
x est paire. Cette proposition est fausse.
En effet, pour tout x ∈ * , alors - x ∈ * et f ( - x ) = - x − 1
x . ce qui n'est pas égal à f ( x ).
E ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x² − x est paire. Cette proposition est fausse.
En effet, pour tout x réel, alors - x ∈ et f ( - x ) = x² + x ≠ f ( x ) . N ° 2
Soit f une fonction paire sur un intervalle D.
Soit un repère orthogonal.
Soit M ( x ; y ) un point de la courbe représentative de f.
Soit M ' ( x ' ; y ' ) le point symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées.
A ) Exprimer x ' et y ' à l'aide de x et de y.
M et M ' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Donc x ' = - x et y ' = y.
B ) Justifier que M ' appartient à la courbe représentative de f.
M ' ∈ C car y ' = f ( - x ) = y = f ( x ) = f ( x ' ).
N ° 3
Soient f et g deux fonctions définies sur . Démontrer que si f est paire, alors g o f est paire.
Soit f une fonction paire.
Alors pour tout x réel, - x ∈ et f ( - x ) = f ( x ).
Donc g ( f ( -x ) ) = g ( f ( x ) ) ⇔ g o f ( -x ) = g o f ( x ) Autrement dit, la fonction g o f est une fonction paire.
