Dans ce chapitre, nous allons étudier les éléments de symétrie d'une courbe afin de nous simplifier le travail.
En effet, si nous savons qu'une fonction est paire ou impaire, il nous suffit de l'étudier sur [ 0 ; + [.
Si la courbe d'une fonction admet un centre de symétrie, alors il nous suffit de l'étudier que sur une partie de son intervalle de définition.
D'autres parts, nous allons revoir les notions de maximum et minimum apprises en seconde.
1 Fonctions paires.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle D de .
f est une fonction paire si et seulement si x D alors - x D et f ( - x ) = f ( x ).
Propriété :
Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
E1 Savoir travailler avec des fonctions paires.
N ° 1
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple ( exemple contredisant la proposition ).
A ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x est paire.
B ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x² 1 est paire.
C ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = est paire.
D ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x + est paire.
E ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x² x est paire.
N ° 2
Soit f une fonction paire sur un intervalle D.
Soit un repère orthogonal.
Soit M ( x ; y ) un point de la courbe représentative de f.
Soit M ' ( x ' ; y ' ) le point symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées.
A ) Exprimer x ' et y ' à l'aide de x et de y.
B ) Justifier que M ' appartient à la courbe représentative de f.
N ° 3
Soient f et g deux fonctions définies sur .
Démontrer que si f est paire, alors g o f est paire.
2 Fonctions impaires.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle D de .
f est une fonction impaire si et seulement si x D alors - x D et f ( - x ) = - f ( x ).
Propriété :
Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
E2 Savoir travailler avec des fonctions impaires.
N ° 4
Classer ces fonctions par catégories : " paires " ; " impaires " ; " ni paires, ni impaires "
A ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x . B ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x² 1.
C ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = . D ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x + . E ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x² x.
F ) La fonction donnée par l'expression f ( x ) = x3 x
N ° 5
Soit f une fonction impaire sur un intervalle D.
Soit un repère orthogonal.
Soit M ( x ; y ) un point de la courbe représentative de f.
Soit M ' ( x ' ; y ' ) le point symétrique de M par rapport à l'origine du repère.
A ) Exprimer x ' et y ' à l'aide de x et de y.
B ) Justifier que M ' appartient à la courbe représentative de f.
N ° 6
Soient f et g deux fonctions définies sur .
Démontrer que la composée de deux fonctions impaires est une fonction impaire.
3 Axe de symétrie d'une courbe.
Soit f une fonction définie sur une partie D de .
Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Soit a un nombre réel.
Si, pour tout réel x tel que a + x D, on vérifie que a x D et que f ( a x ) = f ( a + x ), alors C est symétrique par rapport à la droite d'équation x = a.
On dit que la droite d'équation x = a est un axe de symétrie de la courbe C.
Lorsque a = 0, c'est le cas particulier d'une fonction paire.
Toute courbe représentative d'une fonction ayant un axe de symétrie admet, dans un repère bien choisi, une équation de la forme y = g ( x ) où g est une fonction paire.
Exemple : soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 2x x². Démontrer que la droite d'équation x = 1 est un axe de symétrie de la courbe représentative C de f. Faire un dessin à main levée. Voir feuille annexe.
E3 Savoir démontrer qu'une droite est un axe de symétrie.
N ° 7.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 3x² + 6x + 5.
Démontrer que la droite d'équation x = -1 est un axe de symétrie de la courbe représentative C de f.
Trouver la fonction g paire telle que dans un repère bien choisi, C admette pour équation y = g ( x ).
4 Centre de symétrie d'une courbe.
Soit f une fonction définie sur une partie D de .
Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Soient a et b deux nombres réels.
Si, pour tout réel x tel que a + x D on vérifie que a x D et que
2
) x a ( f ) x a (
f
= b alors C est symétrique par rapport au point I de coordonnées ( a ; b ) dans le repère ( O ; i , j ).
On dit que le point I ( a ; b ) est un centre de symétrie de la courbe C.
Lorsque a = 0 et b = 0 c'est la cas particulier d'une fonction impaire.
Toute courbe représentative d'une fonction ayant un centre de symétrie admet dans un repère bien choisi, une équation de la forme y = g ( x ) où g est une fonction impaire.
Exemple : soit f la fonction définie sur ] - ; 3 [ U ] 3 ; + [ par f ( x ) =
x 3 x 1 2
.Démontrons que le point I ( 3 ; - 2 ) est un centre de symétrie de la courbe représentative C de f.
Trouvons la fonction g impaire, telle que dans un repère bien choisi, la courbe C admette une équation de la forme y = g ( x ). Voir feuille annexe.
E4 Savoir démontrer qu'un point est centre de symétrie d'une courbe.
N ° 8.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x3 3x² + 4x 2.
Démontrer que le point I ( 1 ; 0 ) est un centre de symétrie de la courbe représentative C de f.
Trouver la fonction g impaire telle que dans un repère bien choisi, C admette pour équation y = g ( x ).
5 Extremum d'une fonction.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
On dit que f admet un maximum sur I lorsqu'il existe un réel a appartenant à I tel que pour tout réel x de I, f ( x ) f ( a ).
f ( a ) est appelé le maximum de f sur I et on dit que ce maximum est atteint pour x = a.
Le maximum de f sur I est la plus grande valeur de f ( x ) lorsque x décrit I.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
On dit que f admet un minimum sur I lorsqu'il existe un réel b appartenant à I tel que pour tout réel x de I, f ( x ) f ( b ).
f ( b ) est appelé le minimum de f sur I et on dit que ce minimum est atteint pour x = b.
Le minimum de f sur I est la plus petite valeur de f ( x ) lorsque x décrit I.
Interprétation graphique :
Le maximum f ( a ) sur I est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe représentative de f.
Le minimum f ( b ) sur I est l'ordonnée du point le plus bas de la courbe représentative de f.
Dessin : voir feuille annexe.
E5 Savoir déterminer un extremum d'une fonction.
N ° 9 Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x² + 6x + 10.
1. Déterminer le réel a tel que f ( x ) = ( x + a )² + 1.
2. a ) En déduire le signe de f ( x ) 1.
b ) En déduire le minimum de f sur ainsi que la valeur pour laquelle il est atteint.
c ) Donner quatre minorants de f sur .
6 Majorant et minorant.
Soit M un réel fixé.
Lorsque pour tout x d'un intervalle I, f ( x ) M alors on dit que f est majorée par M.
M est un majorant de f sur l'intervalle I.
Soit m un réel fixé.
Lorsque pour tout x d'un intervalle I, m f ( x ) alors on dit que f est minorée par m.
m est un minorant de f sur l'intervalle I.
Une fonction bornée sur un intervalle I est une fonction qui est à la fois majorée et minorée sur cet intervalle I.
Interprétation graphique :
Si f est une fonction bornée alors la courbe représentative de f est située en dessous de la droite d'équation y = M et au-dessus de la droite d'équation y = m.
Remarques :
Un majorant de f sur I, lorsqu'il existe, n'est pas unique.
Si M est un majorant de f sur I, alors tout réel supérieur à M est aussi un majorant de f sur I.
Un minorant de f sur I, lorsqu'il existe, n'est pas unique.
Si m est un minorant de f sur I, alors tout réel inférieur à m est aussi un minorant de f sur I.
Une fonction majorée par 0 sur I est une fonction négative sur I.
Sa courbe représentative est en dessous de l'axe des abscisses.
Une fonction minorée par 0 sur I est une fonction positive sur I.
Sa courbe représentative est au-dessus de l'axe des abscisses.
E6 Savoir déterminer un majorant ou un minorant.
N ° 10
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x² + 2x 8.
A ) Démontrer que f ( x ) peut s'écrire sous la forme f ( x ) = ( x + 1 )² 9.
B ) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] - ; - 1 ].
C ) Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle ] - ; - 1 ].
D ) Déterminer un encadrement de la fonction f sur l'intervalle [ - 4 ; - 2 ].
E ) Déterminer deux majorants de f sur l'intervalle [ - 4 ; - 2 ].
N ° 11
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = - 2x² + 4x 3.
A ) Déterminer les réels a et b tels que f ( x ) = - 2 ( x + a )² + b.
B ) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ 1 ; + [.
C ) Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [ 1 ; + [.
D ) Déterminer un encadrement de la fonction f sur l'intervalle [ 2 ; 3 ].
E ) Déterminer deux minorants de f sur l'intervalle [ 2 ; 3 ].
N ° 12
Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) =
1
² x 1
.A ) Déterminer un minorant de f sur .
B ) Déterminer un majorant de f sur .
Test de compréhension du chapitre 5.
1 ) Donner la définition d'une fonction paire.
2 ) Que peut-on dire de la courbe représentative d'une fonction paire, dans un repère orthogonal ? 3 ) Donner la définition d'une fonction impaire.
4 ) Que peut-on dire de la courbe représentative d'une fonction impaire, dans un repère orthogonal ? 5 ) Donner une méthode pour démontrer qu'une courbe admet un axe de symétrie.
6 ) Donner une méthode pour démontrer qu'une courbe admet un centre de symétrie.
7 ) Donner la définition de maximum d'une fonction sur un intervalle.
8 ) Donner la définition de minimum d'une fonction sur un intervalle.
9 ) Donner la définition de majorant d'une fonction sur un intervalle.
10 ) Donner la définition de minorant d'une fonction sur un intervalle.
