C Signe de la dérivée et variation de la fonction

Chapitre 1

Dérivation

A Nombre dérivé

Activité QCM p176, sauf question D : détermination de coecients directeurs et équations de tangentes.

Dénition Soit Cf la courbe représentative d'une fonction f dénie en a. Soit A le point de Cf d'abscisse a. On suppose que Cf a une tangente T en A. On dénit le nombre dérivé de f en a comme étant le coecient directeur de T. On note ce nombref⁰(a).

Exemple voir livre page 181

→ Exercices 12,13,15,16 p193 (détermination graphique)

Proposition Soit f une fonction dénie en a dont la courbe représentative Cf a une tangenteT en le point d'abscissea. AlorsT a pour équation :

y=f⁰(a)(x−a) +f(a)

Preuve : L'équation est de la forme y = αx+β. Or son coecient directeur est f⁰(a) par dénition. Donc α = f⁰(a). De plus, le points (a, f(a)) est sur T, donc f(a) =f⁰(a)a+β. Ainsi, β=f(a)−f⁰(a)a. Ainsi, T a pour équation y=f⁰(a)x+

f(a)−f⁰(a)a=f⁰(a)(x−a) +f(a). 2

→ Exercices déterminer les équations des tangentes des exercices 13 et 15p193.

B Fonction dérivée

Dénition Soit f une fonction dénie sur un intervalle I qui admet un nombre dérivé en tout nombrea de I. On dénit alors la fonction dérivée de f sur I, notée f⁰, par :

f⁰ :x7−→f⁰(x)

Proposition Soitf(x) =ax+bune fonction ane. La fonctionf est dérivable sur Ret pour tout x∈_R,f⁰(x) =a

1

2 CHAPITRE 1. DÉRIVATION Preuve : En eet, la courbe représentative def est une droite de coecient directeur a, qui est sa propre tangente. Donc le coecient directeur de la tangente en tout point de la courbe de f est le coecient directeur de la droite représentant f, c'est à dire

que pour toutx∈_R,f⁰(x) =a. 2

Conséquence : soit f(x) = k une fonction constante. Alors f⁰(x) = 0 pour tout x∈_R. (La courbe de f est une droite horizontale, de coecient directeur égal à 0) Proposition Ci-dessous, un tableau de fonctions dont les dérivées sont à connaître :

fonction f dérivable sur dérivéef⁰ f(x) =xⁿ _R f⁰(x) =nxⁿ⁻¹

f(x) = 1

x ]− ∞; 0[et]0; +∞[ f⁰(x) =− 1 x² f(x) =√

x ]0; +∞[ f⁰(x) = 1

2√ x Remarque La fonction racine carrée n'est pas dérivable en0 Proposition (Opérations sur les dérivées)

Soientu etv deux fonctions dérivables sur un intervalleI u+v est dérivable surI et(u+v)⁰ =u⁰+v⁰.

uv est dérivable surI et(uv)⁰ =u⁰v+uv⁰. 1

v est dérivable en toutx de I tel que v(x)6= 0 et

1

v 0

=−v⁰ v². u

v est dérivable en toutx de I tel quev(x)6= 0etu v

0

=−u⁰v−uv⁰ v² .

Conséquences :Soitkun nombre réel. La fonctionkuest dérivable surI et(ku)⁰ = ku⁰. La fonctionu² est dérivable et (u²)⁰= 2u⁰u

Exemple a. des 19 et 22 page 194

→ Exercices 19,20,21,22,24,25,... p194

C. SIGNE DE LA DÉRIVÉE ET VARIATION DE LA FONCTION 3

C Signe de la dérivée et variation de la fonction

Activité 3p179 (conjecture)

Soitf une fonction dénie et dérivable sur un intervalleI. Proposition

Sif est croissante surI, alors pour tout x∈I,f⁰(x)≥0; Sif est décroissante surI, alors pour toutx∈I,f⁰(x)≤0; Sif est constante surI, alors pour tout x∈I,f⁰(x) = 0. Ce qui nous intéresse le plus est la réciproque :

Théorème

Si pour toutx∈I,f⁰(x)≥0, alors f est croissante surI; Si pour toutx∈I,f⁰(x)≤0, alors f est décroissante sur I; Si pour toutx∈I,f⁰(x) = 0, alors f est constante surI .

Dessin

On peut alors établir un tableau de variation de la fonction.

Exemple f(x) =x² (+lire 7p185 exercice résolu)

→ Exercices 43,45,48p196, 51,52p197 (tableaux, graphes)

→ Exercices 55,57,59p198 (dérivation et tableau de variation)