Devoir surveillé n° 3

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Devoir surveillé n°3 1/3 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Devoir surveillé n° 3

Exercice 1 – Inspiré de Bac S - France métropolitaine – Juin 2005 8 points

Cet exercice constitue une Restitution Organisée de Connaissances

Partie A : 6 points

NB. Les quatre propositions peuvent être examinées indépendamment des unes des autres

On considère une suite

( )

^un positive et la suite

( )

^vn définie par vn= un

1+u_n.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple.

1. ┐n, 0ÂvnÂ1

2. Si la suite

( )

^un est convergente, alors la suite

( )

^vn est convergente.

3. Si la suite

( )

^un est croissante, alors la suite

( )

^vn est croissante.

4. Si la suite

( )

^vn est convergente alors la suite

( )

^un est convergente.

Partie B : Question de cours 2 points

On suppose connus les résultats suivants :

(1) Deux suites

( )

^{un et}

( )

^vn sont adjacentes lorsque : l’une est croissante, l’autre est décroissante et un−vn tend vers 0 quand n tend vers +õ.

(2) Si

( )

^{un et}

( )

^vn sont deux suites adjacentes telles que

( )

^un est croissante et

( )

^vn est décroissante, alors pour tout n appartenant à IN, on a unÂvn.

(3) Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Démontrer alors la propriété suivante :

Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite.

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Devoir surveillé n°3 2/3 Exercice 2 – D’après Bac S – Amérique du nord – juin 2005 12 points

Le graphique fourni en page 3 sera complété et remis avec la copie

Soit f la fonction définie sur [0;2] par f( x)=2x+1 x+1 .

1. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0;2]. Montrer que si x☻[1;2] alors f(x)☻[1;2].

2.

( )

^{un et}

( )

^vn sont deux suites définies sur IN par : u0=1 et pour tout entier naturel n, u_n+1=f

( )

^{un .}

v0=2 et pour tout entier naturel n,v_n+1=f

( )

^{vn .}

a. Le graphique donné en page 3 représente la fonction f sur l’intervalle [0;2].

Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes chacune des suites

( )

^{un et}

( )

^vn en laissant apparents tous les traits de construction.

A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites

( )

^{un et}

( )

^{vn ?}

b. Montrer à l’aide de raisonnements par récurrence que : Pour tout entier naturel n, 1ÂvnÂ2.

Pour tout entier naturel n, vn+1Âvn.

On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel n, 1ÂunÂ2.

Pour tout entier naturel n, unÂun+1.

c. i. Montrer que pour tout entier naturel n, v_n+1−u_n+1= vn−un

(

^vn+1

) (

^un+1

)

^.

ii. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n, vn−unÃ0.

iii. Démontrer alors que pour tout entier naturel n, vn+1−u_n+1Â1

4

(

^vn−un

)

. d. Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, vn−u_nÂ



1 4

n

. e. Montrer que les suites

( )

^{un et}

( )

^vn convergent vers un même α.

Déterminer la valeur exacte de α.

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Devoir surveillé n°3 3/3 NOM :

Prénom : Classe : TS

1 1 .5 2 1 1. 5

0 0. 5 0. 5

x y