2. Si pour tout n de , u

DEVOIR A LA MAISON N°8. TS2.

Pour le lundi 11 décembre 2017.

I. Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse et justifier (pour une proposition fausse, la justification consistera à donner un contre exemple).

1. Toute suite croissante et majorée par 2 converge vers 2.

2. Si pour tout n de , u

_n

v

_n

w

_n

avec lim

n

u

_n

1 et lim

n

w

_n

3, alors ( ) ^v

n

converge vers un réel compris entre 1 et 3.

II. Paul et Louis jouent à un jeu vidéo. Louis joue la 1ère partie.

Lorsque Paul a terminé une partie, il en recommence une avec la probabilité de 0,8 et laisse Louis jouer la suivante avec une probabilité de 0,2.

Lorsque Louis a terminé une partie, il en recommence une avec la probabilité de 0,6 et laisse Paul jouer la suivante avec une probabilité de 0,4.

Pour tout n de *, on note P

n

l événement : "Paul joue la n

^ième

partie" et p

n

la probabilité de P

n

. 1. Justifier que p

1

0.

2. Donner P

Pn

( ^P

^{n 1}

) ^.

3. Recopier et compléter l arbre ci-dessous puis montrer que pour tout n de : p

n 1

0,6 0,2p

n

. P

n 1

P

n

……

……

P

_n

……

4. Montrer que la suite ( ) ^p

ⁿ

est majorée par 1.

5. Montrer que la suite ( ) ^p

ⁿ

est croissante.

6. Déterminer, si elle existe, la limite de la suite ( ) ^p

n

. 7. Interpréter le résultat de la question 5.

III. Facultatif.

Définition : Deux suites ( ) ^{un et} ( ) ^vn sont dites adjacentes si : l une est croissante, l autre est décroissante et lim

n un vn 0

.

1. Soient deux suites adjacentes ( ) ^u

n

et ( ) ^v

n

telles que ( ) ^u

n

croissante et ( ) ^v

n

décroissante.

a.

Montrer que la suite ( ) ^t

ⁿ

définie pour tout n de par t

n

v

n

u

n

est décroissante.

b.

En déduire que, pour tout entier naturel n, u

n

v

n

.

c.

Montrer que les suites ( ) ^u

ⁿ

^et ( ) ^v

ⁿ

sont convergentes et qu elles ont la même limite.

2. Application.

Soient les suites ( ) ^u

ⁿ

^et ( ) ^v

ⁿ

définies pour tout n de * par u

n

1 1 2²

1

3² … 1

n² et v

n

u

n

1 n .

a.

Montrer que les suites ( ) ^u

n

et ( ) ^v

n

sont adjacentes.

b.

A l aide d un tableur, donner une valeur approchée de la limite commune à ces deux suites à 10

²

près.

……

…… ……

…… ……

……

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°8. TS

I.

1. Soit ( ) ^u

n

la suite définie pour tout n de par u

n

1 n 1 . Pour tout n de :

u

n 1

u

n

1 n 2

1 n 1

n 1 n 2 (n 1)(n 2)

1

( n 1)( n 2) 0 donc la suite ( ) ^u

ⁿ

est croissante.

u

_n

0 2 donc la suite ( ) ^u

n

est majorée par 2.

Et lim

n

u

n

0.

La proposition est donc fausse.

Remarque : la suite

( ) ^v

ⁿ

définie pour tout n de par v

n

1 est un autre contre-exemple.

2. Déjà traité !!!

Pour tout n de , on pose u

_n

1, v

_n

2 et w

_n

2 ( 1)

ⁿ

. Si n est pair, w

_n

3 et si n est impair, w

_n

1 on a donc : pour tout n de , u

n

v

n

w

n

avec lim

n

u

n

1 et lim

n

w

n

3.

Pourtant, ( ) ^v

ⁿ

n a pas de limite donc ( ) ^v

ⁿ

ne converge pas vers un réel compris entre 1 et 3.

La proposition est donc fausse.

II.

1. Louis joue la première partie donc p

₁

0.

2. D après l énoncé, P

Pn

( ^P

n 1

) 0,8 3. p

n 1

0,6 0,2 p

n

.

P

_{n 1}

Soit n un entier naturel non nul.

P

_n

P

_n

et P

_n

forment une partition de donc, d après la formule P

_{n 1}

des probabilités totales :

P

n 1

P ( ^P

n 1

) P ( ) ^P

n

P

Pn

( ^P

n 1

) P



P

n 

P

Pn

( ^P

n 1

) , c'est-à-dire

P

n pn 1 pn

0,8 ( ^{1 p}

n

) 0,6 0,6 0,2p

n

P

n 1

4. Méthode 1 :

p

n

est une probabilité donc pour tout n de *, p

n

1 : la suite ( )

^pn

est majorée par 1.

Méthode 2 :

Initialisation : pour n

0

1 : p

1

0 1.

Hérédité : soit k un entier naturel non nul tel que p

k

1. Montrons que p

k 1

1.

p

k

1 donc 0,2p

k

0,2 car 0,2 0 donc 0,6 0,2p

k

0,8 1 donc p

k 1

1

Conclusion : pour tout n de *, p

n

1 : la suite ( )

^pn

est majorée par 1.

5. Initialisation : pour n

0

1 : p

1

0 et p

2

0,6 0,2 0 0,6 donc p

1

p

2

.

Hérédité : soit k un entier naturel non nul tel que p

k

p

k 1

. Montrons que p

k 1

p

k 2

. p

k

p

k 1

donc 0,2p

k

0,2p

k 1

car 0,2 0

donc 0,6 0,2p

k

0,6 0,2p

k 1

donc p

k 1

p

k 2

Conclusion : pour tout n de *, p

n

p

n 1

: la suite ( )

^pn

est croissante.

6. La suite ( ) ^p

ⁿ

est croissante et majorée par 1 donc elle converge vers un réel L.

0,8

p

n 0,2

1 p

n 0,6

0,4

7.

la suite ( ) ^u

ⁿ

converge vers un réel L

u

_{n 1}

f ( ) ^u

n

où f est la fonction définie sur par f( x) 0,6 0,2 x f est continue sur comme fonction affine donc f est continue en L Alors L est solution de l équation f (x ) x.

f(x ) x  0,6 0,2x x  x 3 4 . La sui te ( )

^un

converge vers 3

4 . 8. A long terme, Paul jouera 3

4 des parties.

III. Facultatif.

1. Soient deux suites adjacentes ( ) ^u

ⁿ

^et ( ) ^v

ⁿ

telles que ( ) ^u

ⁿ

croissante et ( ) ^v

ⁿ

décroissante.

a.

Soit n un entier naturel.

t

n 1

t

n

( ^v

^{n 1}

^v

ⁿ

) ( ^u

ⁿ

^u

^{n 1}

) ^.

( ) ^u

ⁿ

est croissante donc ( ^u

ⁿ

^u

^{n 1}

) ^{0 et} ( ) ^v

ⁿ

est décroissante donc ( ^v

^{n 1}

^v

ⁿ

) ⁰

Alors t

n 1

t

n

0 (somme de deux nombres négatifs).

La suite ( )

^tn

est donc décroissante.

b.

lim

n

u

_n

v

_n

0 donc lim

n

t

_n

lim

n

v

_n

u

_n

0.

La suite ( ) ^t

ⁿ

est décroissante et converge vers 0 donc, d après le cours, pour tout n de : t

n

0, c'est-à-dire v

n

u

n

0 et donc u

n vn

.

c.

Pour tout n de , u

n

v

n

v

0

puisque ( ) ^v

ⁿ

est décroissante. La suite ( ) ^u

ⁿ

est croissante et majorée par v

0

donc elle converge vers un réel L.

De même, la suite ( ) ^v

ⁿ

est décroissante et minorée par u

0

donc elle converge vers un réel L . D une part, lim

n

v

_n

u

_n

lim

n

t

_n

0 D autre part, lim

n

v

_n

u

_n

L L

Par unicité de la limite, on a L L 0, c'est-à-dire L L .

Ainsi, les suites ( )

^un

^et ( )

^vn

sont convergentes et qu elles ont la même limite.

2. Application.

a.

Pour tout n de n : u

n 1

u

n

1

(n 1)² 0 donc la suite ( ) ^u

n

est croissante.

v

n 1

v

n

u

n 1

1 n 1 u

n

1 n

1 (n 1)²

1 n 1

1 n

1

n(n 1)² 0 donc la suite ( ) ^v

n

est décroissante.

lim

n

v

n

u

n

lim

n

1 n

0

Les suites ( )

^un

^et ( )

^vn

sont donc adjacentes.

b.

Notons L lim

n

u

n

lim

n

v

n

(d après 1).

( ) ^u

ⁿ

est croissante et converge vers L donc, pour tout n de *, u

n

L

( ) ^v

ⁿ

est décroissante et converge vers L donc, pour tout n de *, v

n

L Ainsi, pour tout n de *, u

_n

L v

_n

.

Pour n 101, on obtient : 1,63508 L 1,64499. Ainsi, une valeur approchée de L à 10

²

est

1,64.