On considère la suite ( ) u

PanaMaths

[1 - 2]

Décembre 2006

On considère la suite ( ) u

n

définie par : 3

2

2

n

n 1

u n

= − −

Etudier les variations de ( ) u

n

.

Analyse

Il convient en fait d’étudier les variations de la fonction f définie par

( )

^{3 2 2}

1 f x x

x

= −

− sur un ensemble approprié …

Résolution

On a en fait, pour tout entier naturel n : un = f n

( )

avec f définie sur ^{\+ \ 1}

{ }

^{par :}

3 2 2

: 1

f x x x

− 6 −

La fonction f est dérivable sur

[ [

^{0;1 et sur}

]

^1;+∞

[

en tant que fonction rationnelle et on a :

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2

2 2

6 1 3 2 1

'

1

3 6 2

1

x x x

f x

x

x x

x

− − − ×

= −

− +

= −

Le dénominateur est strictement positif comme carré d’un nombre non nul.

Etudions le signe du numérateur qui est une fonction polynôme du second degré.

Raisonnons, dans un premier temps, sur \.

Le discriminant vaut : ^{Δ = −}

( )

^{6 2− × × =4 3 2 36 24 12− = .}

Les racines s’écrivent alors :

6 12 6 2 3 3 3

0, 423

2 3 6 3

− = − = −

× (à 10⁻³ près) et 6 12 3 3

1, 577

2 3 3

+ = +

× (à 10⁻³ près).

PanaMaths

[2 - 2]

Décembre 2006

On en tire le signe de 3x²−6x+2 sur \ puis celui de ^f'

( )

^{x sur \+\ 1}

{ }

^:

• Pour 3 3 3 3

; ;

3 3

x∈ −∞⎤⎥ − ⎡ ⎤⎢ ⎥∪ + +∞⎡⎢

⎦ ⎣ ⎦ ⎣, 3x²−6x+ >2 0.

• Pour 3 3 3 3

3 ; 3

x ⎤ − + ⎡

∈ ⎥ ⎢

⎦ ⎣, 3x²−6x+ <2 0.

Donc :

• 3 3 3 3

0; ;

3 3

x∈⎡⎢ − ⎡ ⎤⎢ ⎥∪ + +∞⎡⎢

⎣ ⎣ ⎦ ⎣, ^f'

( )

^{x >0} et la fonction f est strictement croissante sur chacun de ces deux intervalles.

• Pour 3 3 3 3

3 ; 3

x ⎤ − + ⎡

∈ ⎥ ⎢

⎦ ⎣, ^{f '}

( )

^{x <0} et la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle.

Puisque l’on a : 3 3 3 3

0 1 2

3 3

− +

< < < < , on peut finalement conclure que la suite

( )

un est strictement croissante à partir de n=2.

Résultat final

la suite

( )

un est strictement croissante à partir de n=2.