Chapitre n°1: Polynôme du second degré.

(1)

Chapitre n°1: Polynôme du second degré.

Objectifs.

O1. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré deux – équation du second degré – Signe du trinôme : Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d'une fonction polynome de degré deux en vue de la résolution d'un problème : développée, factoriée, canonique

[faire le lien avec les représentations graphiques – faire de l'algorithmique]

Durée approximative : 13 cours.

Activité d'approche n°1 : choisir la bonne écriture

Soit f(x) = x

²

– 2x – 15 .Voici trois expressions :

(1) x(x – 2) – 15 (2) (x – 1)

²

– 16 (3) (x – 5)(x + 3) (0) désigne l'expression de départ.

1- Vérifier que f(x) est égale à chacune de ces trois expressions.

2- Pour chacune des questions suivantes, dire laquelle de ces quatre formes permet de donner rapidement la réponse.

i. Calculer les images par f de 0 , de 1 , de 2 et de √ ² . ii. Déterminer les antécédents de 0 par f .

iii. Résoudre l’équation : f(x) = – 15.

iv. Résoudre l’équation : f(x) = – 16.

v. Démontrer que f(x) admet un minimum égal à (–16) sur R.

vi. Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x .

DM n°1 – le périmètre de baignade

(2)

2/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

2/31

(3)

Cours n°1

Chapitre n°1: Polynôme du second degré.

I) Rappels sur les fonctions polynômes du second degré.

Définition n°1 : fonction trinôme

Soit a,b,c trois nombres réels avec a ≠ ⁰

On appelle …...

toute fonction p définie sur R pouvent être exprimée sous la forme : p(x)=ax

²

+ bx + c . On parle aussi de fonction trinôme.

Définition n°2 : racine d'un trinôme

On appelle …... du trinôme ax

²

+ bx + c toute valeur de la variable x solution de l'équation ax

²

+ bx + c = 0.

Exemple n°1

●

Le nombre 3 est-il une racine de 2x

²

– 4x – 6 ?

…...

...

●

Trouvez les racines de x

²

– 3 :

…...

...

Propriété n°1

Soit a,b,c trois nombres réels avec a ≠ ⁰ et f une fonction polynôme de degré deux définie sur R par sa forme développée: f(x) = ax

²

+ bx + c

Le sens de variation de f dépend alors du …... de a :

x

–

∞ ...

+∞

x

–∞

...

+∞

(4)

4/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

4/31

(5)

En français :

La fonction f(x) = ax

²

+ bx + c présente un extremum en x

0

= – b 2 a

C'est un …... si …... et un …...

si …...

Les variations de la fonction f dépendent du …... de a.

Exemple n°2 :

La fonction f est définie sur R par f(x)= –2x

²

– 4x + 3. Dressez le tableau de variation de f et précisez son extremum.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

Exercice n°1

Ex.16 p.16 (Bordas Indice 2011) Exercice n°2

Ex.17 p.16 (Bordas Indice 2011) Exercice n°3

Ex.38 p.18 (Bordas Indice 2011)

(6)

6/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

6/31

(7)

Activité d'approche n°2 : obtenir la forme canonique d'un trinôme développé

1- La fonction f est définie par :

^f

(x) = x

²–

4x

–

12 ; a. montrer que :

^f

(x) = (x – 2)

²

– 16

.

b. Construire la représentation graphique de la fonction f. En déduire graphiquement les solutions de l’équation f(x) = 0.

c. Résoudre cette équation par le calcul.

2- Soit la fonction g définie par

^g

(x) = 2x

²

+ 4x + 6.

Examiner les étapes suivantes pour transformer l’écriture de f(x).

a. Mettre en facteur le coefficient de

^x²^.

b. Considérer x

²

+ 2x comme le début d’un carré c. Ecrire g(x) sous forme canonique.

d. Construire la représentation graphique de la fonction g. En déduire graphiquement les solutions de l’équation g(x)=0.

e. Résoudre cette équation par le calcul.

3- Reprendre la même démarche pour les fonctions suivantes : h(x)=x

²

+ 6x + 11 j(x) = –x

²

+ 6x + 7 k(x) = 3x

²

– 6x – 9

4- *(= uniquement si le reste est terminé) Reprendre la même démarche dans le

cas général : m(x)=ax

²

+ bx + c

(8)

8/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

8/31

(9)

Cours n°2

II) Obtention de la forme canonique d'un trinôme à partir de la forme développée.

Propriété n°2

La forme canonique du trinôme T(x) = ax

²

+ bx + c est T(x) = a [ ⁽ ^x

⁺

² ^b ^a ⁾

²⁻

^b

²⁻⁴

⁴ ^a

²

^ac ]

Exemple n°3

1. Déterminez la forme canonique du trinôme f(x) = 2x

²

– 12x + 3.

...

2. Déterminez la forme canonique du trinôme g(x) = –3x

²

+ 5x – 1.

...

Exercice n°4

Ex.19 p.17 (Bordas Indice 2011) Exercice n°5

Ex.20 p.17 (Bordas Indice 2011)

(10)

10/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

10/31

(11)

Activité d'approche n°3 : discriminant

Les fonctions précédentes sont de la forme : T(x) = ax

²

+ bx + c et on pose

 =

b

²

– 4ac :

f(x) = x

²–

4x

–

12 ;

g

(x) = 2x

²

+ 4x + 2 ; h(x)=x

²

+ 6x + 11 ; j(x) = –x

²

+ 6x + 7 ; k(x) = 3x

²

– 6x – 9

1. Pour chacune des fonctions précédentes, écrire les coefficients a , b et c et calculer le réel



:

T(x)

a b c



N

f(x) g(x) h(x) j(x) k(x)

2. On note N le nombre de points d’intersection de la courbe et l’axe des abscisses. Complétez le tableau.

3. Quel lien semble-t-il y avoir entre N et le signe de  ?

Cours n°3

III) Résolution d'une équation du second degré.

Résoudre une équation du second degré, c'est résoudre une équation dont au moins un terme est en …....

Cela se ramène à résoudre, après des développements et réductions éventuelles, l'équation ...= 0.

C'est donc trouver les …... du trinôme T(x) = ax

²

+ bx + c . Définition n°3 : discriminant

Le nombre réel b

²

– 4ac est appelé discriminant du trinôme ax

²

+ bx + c .

Il est noté



.

(12)

12/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

12/31

(13)

Propriété n°3

Soit T(x) = ax

²

+ bx + c un trinôme et



son discriminant. Alors :

Si



< 0 alors l'équation T(x) = 0 …...

Si



= 0 alors l'équation T(x) = 0 …... :

…...

...

Si  > 0 alors l'équation T(x) = 0 …... :

…...

...

Démonstration

T(x) = ax

²

+ bx + c …...

T(x) = a(x

²

+ … x + … )...

...

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

Exemple n°4 :

Résoudre les équations suivantes :

(14)

14/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

14/31

(15)

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

Exercice n°6

Ex.25 p.17 (Bordas Indice 2011) Exercice n°7

Ex.26 p.17 (Bordas Indice 2011) Exercice n°8*

Ex.54 p.18 (Bordas Indice 2011) Exercice n°9*

Ex.66 p.19 (Bordas Indice 2011) Exercice n°10*

Ex.52 p.18 (Bordas Indice 2011) Exercice n°11**

Ex.56 p.18 (Bordas Indice 2011)

Activité d'approche n°4 : étude de signe et discriminant

1. Soit f la fonction trinôme définie par : f(x) = x

²

+2x – 35.

a. Écrire f sous forme canonique.

(16)

16/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

3. Soit h la fonction trinôme définie par : h(x) = -x

²

–2x – 35.

a. Écrire h sous forme canonique.

b. Peut-on factoriser h ?

c. En déduire le tableau de signe de h.

4. Calculer  dans chaque cas. Que semble-t-il se passer ?

16/31

(17)

Cours n°4

IV) Factorisation et signe d'un trinôme. Résolution d'inéquations.

a) Factorisation Propriété n°4

Si

<0, le trinôme ne se factorise pas.

Si

=0,

le trinôme se factorise sous la forme …...

Si

>0, le trinôme se factorise sous la forme …...

Démonstration

...

…...

...

…...

... ...

...

b) Signe du trinôme Propriété n°5

Si <0 alors le trinôme est du signe de a.

Si =0 alors le trinôme est du signe de a sauf en …... où il s'annule.

Si >0 alors le trinôme est du signe de a sauf …...

Démonstration

…...

...

…...

...

…...

(18)

18/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

18/31

(19)

...

Exemple n°5

Résoudre les inéquations suivantes :

(1) –x

²

+ x + 6 0 (2) –2x

²

+ x – 2 < 0 (3) 1

3 x

²

– 2x + 3  0.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

(20)

20/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

20/31

(21)

V) Tableau bilan. Soit f la fonction définie par

f

(

x

) =

ax

²

+ bx + c . Le discriminant est donc :  = …...

a négatif

 négatif  = 0  positif

courbe

Équation f(x) = 0

... ...

.

...

Factorisation

... ... ...

Signe de f(x)

-1 0 1 2 3

-1 -2 -3 -4 -5

y x

-1 0 1 2 3

-1 -2 -3 -4

y x

-1 0 1 2 3

1

-1 -2 -3 y

x

(22)

22/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

22/31

(23)

a positif



négatif

 = 0 

positif courbe

Équation f(x) = 0

... ...

.

...

Factorisation

... ... ...

Signe de f(x)

Exercice n°12

Ex.13 p.16 (Bordas Indice 2011) Exercice n°13

Ex.14 p.16 (Bordas Indice 2011) Exercice n°14

Ex.73 p.19 (Bordas Indice 2011) Exercice n°15

Ex.88 p.20 (Bordas Indice 2011) Exercice n°16

Ex.107 p.21 (Bordas Indice 2011)

-1 0 1 2 3

5 4 3 2 1

y

x -1 0 1 2 3

4 3 2 1

y

x

-1 0 1 2 3

3 2 1

-1 y

x

(24)

24/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

24/31

(25)

Exercice n°19*

(Transmath 2011)

Le poids diminue avec l'altitude. Ainsi, si un astronaute pèse 60 kg sur la terre, son poids (en kg) à l'altitude x (en km) au-dessus du niveau de la mer est donné par : P = 60×9,8× ( ⁶⁴⁰⁰⁺ ⁶⁴⁰⁰ ^x )

²

À quelle altitude l'astronaute pèsera-t-il moins de 2,5 kg ? Exercice n°20*

(Hyperbole 2011)

Une compagnie d'assurance a mandaté un actuaire (une personne qui évalue les modalités d'un contrat d'assurance) pour modéliser la probabilité qu'une personne soit impliquée dans un accident au cours des cinq prochaines années, en fonction de son âge. Elle a établi que, si x désigne l'âge du conducteur, alors cette probabilité P s'exprime par P(x)=0,0005x

²

– 0,045x +1,25

a. Quel est l'âge des personnes qui présentent un risque élevé ?

b. La compagnie envisage d'accorder une réduction à toute personne dont la probabilité d'être impliquée dans un accident est inférieure à 20 % . Que pensez-vous de ce rabais ? Justifiez la réponse.

Exercice n°21**

Ex.165 p.29 (Bordas Indice 2011) Exercice n°22***

Un triangle ABC rectangle en A est tel que : AB = 8 cm et AC = 4 cm. M est un point variable du segment [AB] et on pose AM = x cm. On considère le triangle équilatéral MBK de hauteur [KH], avec K et C de part et d'autre de la droite (AB). On souhaite montrer qu'il existe une position de M telle que CM=KH et préciser si, dans cette position, les points K, M, et K sont alignés ou pas.

Étudiez la configuration, émettez des conjectures, et démontrez-les.

Exercice n°23 (Hyperbole 2011) – problème ouvert.

A et B sont deux points de la parabole p d'équation y = x

²

dans un repère orthonormé.

M est un point du segment [AB] et N est un point de p de même abscisse que M.

Existe-t-il toujours une position du point M pour laquelle la distance MN est

(26)

26/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Act.1 : 2. i.(0) ii.(2) iii.(0) iv.(2) v.forme canonique (2) [vue en seconde] en 1 et f(1)=-16 → vi. - entre -3 et 5, + sinon.

CN1 – Ex1 : Oui – racines :

√

^{3 et -}

√

3 Ex2 : maximum en -1 (image : 5), croissante avant, décroissante après.

Ex.1 : f P→ 1

,

g→ P2

Ex.2 : f est décroissante sur ]- ∞;1] et croissante sur [1;+∞.[. Sommet S(1 ;-9) Ex.3 : c=-12

Act.2 : 1.b et c. -2 et 6 2.c.2(x+1)² + 4 2.d et e.pas de sol. 3. h:(x+3)² + 2 – f : -(x-3)² +16 k:3(x-1)²-12 4.a(x-b/(2a))² –b²/4a + c

CN2

–

Ex3 : 2(x – 3)² – 15 - -3(x – 5/6)²+13/12

Ex.4 : a. f(x)=6(x+1)²-11 b.g(x)=-2(x-2)²+8 c.h(x)=3(x–1/6)²+71/12 d.j(x)=-5(x–1)²+2

Ex.5 : a.f(x)=3(x+5/6)²–37/12 b.g(x)=(x+3/2)²–81/4 c.h(x)=-8(x+1/8)²+57/8 d.j(x)=-2(x-1/4)²+57/8

Act.3 : 1 et 2. f(x) : 1 ;-4 ;-12 ; 64 ; 2 – g(x) : 2 ; 4 ; 2 ; 0 ; 1 – h(x) : 1; 6; 11 ; -8 ; 0 – j(x) : -1; 6; 7 ; 64 ; 2 –k(x) : 3 ;-6 ;-9 ; 144;2 – 3. <0 0 sol.→ ; =0 1 sol.→ ; >0 2 sol.→

CN3 – Ex4 : (1) : = 25 – 4×2×(-3)=49 sol. : (−b−^√Δ)/2a = (-5-7)/4=-3 et (-5+7)/4=0,5 – (2) : =

16-4×3×4/3=0 sol. : 2/3 – (3) : =1-4×(-1)×(-7)=-27 pas de sol.

Ex.6 : a. 3/2 et 7/2 b. 8 et -9/2 c.-1/4 d. Pas de sol. e. 1 et 11

Ex.7 : a. -3 b. -15 et 5 c. Pas de sol. d. 7/4 e.(3-

√

5 )/2 et (3+

√

^{5 )/2}

Ex.8 : (a-1)²+a²+(a+1)²=1877 soit a²=625. [Sol : 24,25 et 26. ] Ex.9 :

(x²-8x+16)/(x-3)=0, soit (x-4)²=0 x=4

Ex.10 :

x+1/x=58/21 soit 21x²-58x+21=0 Les réels sont 3/7 et [ 7/3]

Ex.11 :

On cherche les réels positifs a et b tq a+b=46 et a+b+

√

a²⁺b²=80. a+b=46 et a²+b²=1156 → a²-46a+480=0. A=16 ou a=30

– 16,30 et 34

Act.4 : 1.a. (x+1)²-36 1.b. (x+7)(x-5) 1.c. - entre -7 et 5, + ailleurs. 2.a. (x+1)² 2.b. tjrs + 3.a.

26/31

(27)

-(x+1)²-34 3.b. non 3.c.tjrs – 4.f : 144 – g : 0 – h : -136 : si  est négatif, signe constant, pas de racine, etc.

CN4 : (1) =25 -x²+x+6=(x–3)(-x–2), signe de -a entre les racines : + sol=[-2;3] (2) → =-17, signe de a -→ → sol=R (3) =0 → signe de a + avec annulation en -b/2a=2/(2/3)=3 → → sol={3}

Ex.12 : a. x-10 ou x1 b.Pas de sol. c. Pas de sol.

Ex.13 : a. R b. x-1 ou x9 c. -6<x<0 Ex.14 : a. -(x-1)(3x-4) b.(-x+1)(2x-9) c.

=3159 les racines sont -3-

√

789 et -3+

√

^{789 d'où:}

1/2(x+3+

√

⁷⁸⁹^)(x+3-

√

⁷⁸⁹) d. -(x-1)(x-6) e. (x-6)(x-8) Ex.15 : a.[-1/3;1/2] b. Pas de sol. c.]-1;7[ d.

2x²+8x-100 d'où :

S=]- ∞;-5]U[1;+∞[ e.]-∞;-3]U[1/2;+∞[

Ex.16 :

=0 36-4a=0 → → a=9

Ex.17 :

les abscisses des points d'intersection des deux courbes vérifient l'équation : 2x²-x-2=0 (1-

√

17 )/4 et (1+

√

^{17 )/4}

Ex.18 : a.

(-3x²+20x-7)/(x-6)0 →

[(10-

√

79 )/3;6[U[(10+

√

79 )/3;+∞[ b.]0;1]U]2;+∞[ c.

(-2x-4)/(x²+4)>0 soit : S=]–∞;-2]

d.

(-x²+10)/(x²-9)0 soit

S=]–∞;-

√

10 ]U]-3;3[U[

√

^{10 ;+∞[}

Ex.19 : x=17920

√

^{30 -6400}

Ex.20 : a. 0 b. Aucun n'en bénéficiera Ex.21 : 1.a.

^AMP=^QMB =45°

b.On exprime les longueurs PM et MQ en fonction de x à l'aide du théorème de Pythagore.

Puis, à l'aide de ce même théorème, on a : PQ²=PM²+MQ², soit x²/2+(10-x)²/2, ainsi PQ²=x²-10x+50

(28)

28/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

3.c. Donc L

∈

^[5;5

√

^{2 ]}

4.b. Le triangle AIB est rectangle isocèle en I car les angles ^IAB et ^IBA valent 45°.

4.c. PIQM est un rectangle donc IM=PQ (diagonales du rectangle). La valeur minimale de IM est 5 : c'est la longueur de la hauteur issue de I dans le triangle IAB. La valeur maximale de IM est IA (IA=IB), c'est-à-dire 5

√

2 . On retrouve ainsi géométriquement les résultats précédents.

Ex.22 :

MB=8-x et CM=

√

^16+x²^8-x=^→

√

^16+x²^x=3^→ ^→

CM=5 et AM=3. Non alignés (trigo – 53° versus 60°) Ex.23 :

A(x1,x1²), B(x2,x2²), M

∈

(AB) , MN=-x2x1

+

(x1+x2)x-x² maxi pour x=(x1+x2)/2

28/31

(29)

Ex.6 : a. 3/2 et 7/2 b. 8 et -9/2 c.-1/4 d. Pas de sol. e. 1 et 11

Ex.7 : a. -3 b. -15 et 5 c. Pas de sol. d. 7/4 e.(3-

√

5 )/2 et (3+

√

^{5 )/2}

Ex.8 : (a-1)²+a²+(a+1)²=1877 soit a²=625. [Sol : 24,25 et 26. ] Ex.9 : x=4

Ex.10 : Les réels sont 3/7 et [ 7/3]

Ex.11 : – 16,30 et 34

Ex.12 : a. x-10 ou x1 b.Pas de sol. c. Pas de sol.

Ex.13 : a. R b. x-1 ou x9 c. -6<x<0

Ex.14 : a. -(x-1)(3x-4) b.(-x+1)(2x-9) c. 1/2(x+3+

√

^{789 )(x+3-}

√

789 ) d. -(x-1)(x-6) e. (x-6)(x-8) Ex.15 : a.[-1/3;1/2] b. Pas de sol. c.]-1;7[ d.S=]- ∞;-5]U[1;+∞[ e.]-∞;-3]U[1/2;+∞[

Ex.16 : a=9

Ex.17 : (1-

√

¹⁷^{)/4 et (1+}

√

¹⁷^)/4

(30)

30/31 - Chapitre n°1 :Polynôme du second degré.

Ex.18 : a.[(10-

√

79 )/3;6[U[(10+

√

79 )/3;+∞[ b.]0;1]U]2;+∞[ c.S=]–∞;-2] d.S=]–∞;-

√

10 ]U]-3;3[U[

√

^{10 ;+∞[}

Ex.19 : x=17920

√

^{30 -6400}

Ex.20 : a. 0 b. Aucun n'en bénéficiera

Ex.21 : 1.a.PQ²=x²-10x+50 2.x=5+

√

11 et x=5-

√

¹¹3. a. La fonction f est décroissante sur [0;5] et croissante sur [5;10], f(0)=f(10)=50 et f(5)=25

Ex.22 : CM=5 et AM=3. Non alignés (trigo – 53° versus 60°)

30/31

(31)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

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Travail fait en classe :