DS 2 : polynôme du second degré

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Lycée Paul Rey Denis Augier

DS 2 : polynôme du second degré

Consignes :

• Durée 1h.

• Calculatrice autorisée.

• Justifiez vos réponses.

Exercice 1. Résoudre les inégalités suivantes :

1. ^´x_x2²`3x´4^`3x`4 ě0. On commence par déterminer les signes du numérateur et du dénominateur pour faire le tableau de signes.

• Pour´x²`3x`4. On a ∆“25ą0 doncx₁“´3`5

´2 “ ´1 etx₂“´3´5

´2 “4 .

• Pourx²`3x´4. On a ∆“25ą0 donc x₁“´3`5

2 “1 etx₂“ ´3´5

2 “ ´4 .

On obtient le tableau de signes suivant en utilisant le fait que lorsque qu’un polynôme du second degré à deux racines distinct, il est du signe du coefficientaà l’extérieur des racines :

x

´x²` 3x`4 x²`3x´4

´x²`3x`4 x²`3x´4

´8 ´4 ´1 1 4 `8

´ ´ 0 ` ` 0 ´

` 0 ´ ´ 0 ` `

´ ` 0 ´ ` 0 ´

Donc l’ensemble solution estS“s ´4;´1sYs1; 4s.

2. ^2x_x´2²^´5 ě3ô ^2x_x´2²^´5´3ě0ô ^2x²_x´2^´3x`1 ě0.

• Pour 2x²´3x`1. On ax₁“ 1

2 etx₂“1 . x

2x²´ 3x`1 x´2

2x²´3x`1 x´2

´8 ¹₂ 1 2 `8

` 0 ´ 0 ` `

´ ´ ´ 0 `

´ 0 ` 0 ´ `

Donc l’ensemble solution estS““₁

2; 1‰

Ys2;`8s

Exercice 2. On considère le polynômePpxq “2x³´17x²`38x´15.

1. Déterminera,bet ctelPpxq “ px´3qpax²`bx`cq “ax³` pb´3aqx²` pc´3bqx´3c.

D’où le système :

$

’’

&

’’

%

a“2 b´3a“ ´17

c´3b“38

´3c“ ´15 ô

$

&

%

a“2 b“ ´11

c“5 2. En déduire les racines du polynômeP.

Ppxq “0ô px´3qp2x²´11x`5q “0ô px´3q “0oup2x²´11x`5q “0 Pour 2x²´11x`5 on a ∆“81“9²doncx1“ ^11´9₄ “¹₂ et x2“ ^11`9₄ “5

3. Déterminer le signe du polynômeP.

x x´3 2x²´ 11x`5

Ppxq

´8 ¹₂ 3 5 `8

´ ´ 0 ` `

` 0 ´ ´ 0 `

´ 0 ` 0 ´ 0 `

2018-2019 1

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Exercice 3. Sur un segment [AB] de longueur 10, on place un point M. On construit deux carrés AMCD et MBEF.

On posex“AM.

1. On axP r0; 10s.

2. DéterminerApxqla somme des aires des carrés AMCD et MBEF en fonction de x.

Apxq “AM²`M B²“x²` p10´xq²“2x²´20x`100.

3. En déduire la position du point M pour que la somme des aires des deux carrés soit minimale.

Apxqest un polynôme du second degré qui est minimal pourx0“^´b_2a “²⁰₄ “5 résultat prévisible.

4. Déterminerxpour que l’aireApxqsoit 58. Puis résoudreApxq ď58 . Apxq ď58ô2x²´20x`42ď0.

On a ∆“400´336“64ą0. On a donc deux racines qui sontx₁“ ^20´

?64

4 “3 etx₂“^20`

?64 4 “7.

En utilisant le fait que 2x²´20x`42 est du signe dea“2 (coefficient de xx²) à l’extérieur des racines, on obtient le tableau de signe :

x 2x²´ 20x`42

0 3 7 10

` 0 ´ 0 `

Donc l’aire est égale à 58 en 3 et 7, cette aire est inférieur à 58 sixP r3; 7s Exercice 4. On considère les points de coordonnéesAp1; 2q,Bp6; 3qet Cp´4; 1q.

Déterminer si les pointsA,B etC sont alignés et déterminer une équation cartésienne de la droitepABq.

A,B et C sont alignésôÝÝÑ AB etÝÑ

AC sont colinéairesôdetpÝÝÑ AB;ÝÑ

ACq “ ˇ ˇ ˇ ˇ

p6´1q p´4´1q p3´2q p1´2q

ˇ ˇ ˇ ˇ

“5ˆ p´1q ´1ˆ p´5q “0 M P pABq ôÝÝÑ

AM etÝÝÑ

AB colinéairesôdetpÝÝÑ AM;ÝÝÑ

ABq “ ˇ ˇ ˇ ˇ

px´1q p6´1q py´2q p3´2q ˇ ˇ ˇ ˇ

“x´1´5py´2q “x´5y`9“0.

Une équation cartésienne de (AB) est doncx´5y`9“0.

Exercice 5. On considère un triangleABC.

1. Construire sur une figure un triangleABC et les points E et F tel que :ÝÑ

AE “3ÝÝÑ AB`2ÝÑ

AC etÝÝÑ BF “ 2

5 ÝÝÑ BC.

A B

C

E

F

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2. Montrer queÝÑ

AE“5ÝÑ

AF. Que peut-on en déduire ? ÝÑAF “ÝÝÑ

AB`ÝÝÑ BF“ÝÝÑ

AB`2 5

ÝÝÑ BC“ÝÝÑ

AB`2 5

´ÝÝÑ BA`ÝÑ

AC¯

“ ³₅ÝÝÑ

AB`²₅ÝÑ AC.

Donc 5ÝÑ

AF “3ÝÝÑ AB`2ÝÑ

AC“ÝÑ AE.

Donc les vecteursÝÑ AF etÝÑ

AE sont colinéaires et donc les pointsA,E etF sont alignés.

3. (Bonus) On se place dans le repèrepA;ÝÝÑ AB;ÝÑ

ACq.

(a) Déterminer les coordonnées du points F. De l’égalité vectorielleÝÝÑ BF “ 2

5 ÝÝÑ

BC on déduit : ˆ xF´xB

yF´yB

˙

“2 5

ˆ xC´xB

yC´yB

˙ ô

ˆ xF´1 yF´0

˙

“ 2 5

ˆ 0´1 1´0

˙ ô

#

xF “ ^´2₅ `1“³₅ y_F “ ²₅ (b) Déterminer les coordonnées des vecteursÝÑ

AE etÝÑ AF. D’après la question précédenteÝÑ

AF :

˜ 3 5 2 5

¸

. CommeÝÑ AE“3ÝÝÑ

AB`2ÝÑ

AC, on aÝÑ AE:

ˆ 3 2

˙

. DoncÝÑ AE“5ÝÑ

AF. (c) En déduire que les points A, E et F sont alignés. Donc les vecteursÝÑ

AF etÝÑ

AEsont colinéaires et donc les points A,E et F sont alignés.

(d) Déterminer l’équation de la droitepBFq.M P pBFq ôÝÝÑ BM etÝÝÑ

BC colinéairesôdetpÝÝÑ BM;ÝÝÑ

BCq “ ˇ ˇ ˇ ˇ

px´1q p0´1q pyq p1´0q ˇ ˇ ˇ ˇ

“ x´1`y“x`y´1“0.

Une équation cartésienne de (BF) est doncx`y´1“0.

Exercice 6. On considère la fonction définie surR, par :

fpxq “3x²´8x´48 px´5q 1. Déterminer trois réelsa,b etc tels que :

fpxq “ax`b` c x´5

ax`b` c

x´5 “ ax²` pb´5aqx`c´5b

x´5 “fpxq ô

$

&

%

a“3 b´5a“ ´8 c´5b“ ´48

ô

$

&

%

a“3 b“ ´8`5a“7 c“ ´48`5b“ ´13 Doncfpxq “3x`7´ 13

x´5

2. Déterminer le signe defpxq ´ p3x`7q “3x`7´ 13

x´5 ´3x´7“ ´ 13 x´5. x

´13 x´5 fpxq ´ p3x`7q

´8 5 `8

´ ´

´ 0 `

` ´

3. En déduire la position de la représentation graphique def et relativement à la droite d’équationy“3x`7. Donc sur s ´ 8; 5rla représentation graphique de f est au dessus de à la droite d’équation y“3x`7 et surs5;`8r la représentation graphique def est au dessous de à la droite d’équationy“3x`7

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