Faire une esquisse de la fonction f (x) = 3x + 2

Yannick Delbecque — Département de mathématiques, Cégep St-Laurent Outils mathématiques électroniques 1 — 201-716 — Automne 2019

Formatif 3

Question 1

Faire une esquisse de la fonction f (x) = 3x + 2

2x + 1

Question 2

Soit la fonction définie par U(x) =



 



 



1 si 0 ≤ x < 2 0 sinon

a) Représenter graphiquement la fonction U(x).

b) Représenter graphiquement la fonction définie par f (x) = U(x) +U(x − 1) +2U(x − 3)

Question 3

Évaluer les expression suivantes.

a) log

₂

(32) b) log

₁₀

₁

100

c) log

₃

√ 3

d) log

₅

4

− log

₅

20 e) log

₉

(27)

log

₉

(3)

Question 4

Réécrire chacune des expressions suivantes à l’aide d’un seul logarithme en base 10.

a) log

₂

(10) −log

₂

(3) b) log

₃

(3 × 10) Question 5

Résoudre les équations suivantes. Si le résultat comporte des logarithmes, exprimer le résultat à l’aide de logarithmes à base 10.

a) 2

^x+1

= 20 b) log

₂

(3x −2) = 7 Question 6

Si on diminue la puissance d’un signal de 1 W de -15 dB, quel est la puissance du signal résultant ?

Question 7

Convertir les angles suivants.

a) 20° en radian. b)

^π₅

rad en degrés.

Question 8

Déterminer les valeurs suivantes. Vous pouvez utiliser les dimensions du triangle rectangle suivant.

1 √

2−√ 3 2

√

2+√ 3 2 π/12

5π 12

a) cos(π) b) sin

_2π

3

c) sin

_7π

12

d) tan

_π

3

e) sec

_11π

4

Question 9

a) Démontrer l’identité cos(θ + π) = −cos(θ) à l’aide du cercle trigonométrique.

b) Démontrer la même identité à l’aide des identités trigonométriques pour les sommes d’angles.

Question 10

Déterminer la période, la fréquence, le déphasage, l’amplitude de la fonction suivante et en faire une esquisse montant les

coordonnées en t à chaque quart d’une période.

y = 2 sin(π(t − 1)) + 2

Question 11

Déterminer la fonction de la forme f (t) = Asin(ω(t −h)) + k est représentée dans le graphe suivant.

−1 1 3

−2 1 4

t

f (t)

p. 2 Formatif 3

Solutions

Question 1

On met la fonction rationnelle sous la forme

A 1 x −h + k En divisant, on trouve que

3x +2 2x + 1 = 3

2 + 1/2 (2x + 1) = 1

4 1 x +

¹₂

+ 3

2 . La fonction a donc une asymptote horizontale y =

³₂

et une asymptote verticale en x = −

¹

2

.

−

¹

2 3 2

Question 2 a)

2 1

x U(x)

b)

2 1

x f (x)

Question 3 a) 5 b) −2 c)

¹₂

d) log

₅

(4) − log

₅

(20) = log

₅

₄

20

= log

₅

₁

5

= −1

e) log

₉

(27)

log

₉

(3) = log

₉

(3

³

)

log

₉

(3) = 3 log

₉

(3) log

₉

(3) = 3.

Question 4 a) log

₂

10 3

!

= log

₁₀

(10/3) log

₁₀

(2) b) 1 + 1

log

₁₀

(3)

Question 5

a) x + 1 = log

₂

(20), donc x = log

₂

(20) − 1

= log

₁₀

(2 · 10) log

₁₀

(2) − 1

= log

₁₀

(2) + log

₁₀

(10) log

₁₀

(2) − 1

= 1 + log

₁₀

(10) log

₁₀

(2) − 1

= 1 log

₁₀

(2)

b) 3x − 2 = 2

⁷

= 128, donc x =

¹³⁰₃

.

Question 6

−15 = 10 log

₁₀

P

1

− 3

2 = log

₁₀

(P) P = 10

^−3/2

= 1

√

10

³

= 1

√ 1000 La puissance résultante est donc

^√1

1000

W.

Question 7 a) 20 ×

^π

180

=

^π₉

b)

^π₅

×

¹⁸⁰_π

=

¹⁸⁰₅

= 36°

Question 8 a) −1 b)

√ 3 2 c)

√

2+√ 3 2

d) tan

_π

3

=

^sin

_π

3

cos_π

3

=

^(√_1/2^3)/2

= √ 3 e) sec

_11π

4

= sec

_3π

4

=

¹

cos_3π

4

=

1

−(

√2)/2

=

^√2

2

.

Question 9 a)

P(θ)

P(θ + π)

cos(θ)

cos(θ+π)=

−cos(θ)

b)

cos(θ + π) = cos(θ) cos(π) − sin(θ) sin(π)

= cos(θ)(−1) − sin(θ)(0)

= − cos(θ)

Question 10 période T =

^2π_π

= 2, fréquence f =

_T¹

=

¹₂

, déphasage h = 1, amplitude A = 2.

1

³

2

2

⁵

2

3 2

4

Question 11

La période est T = (3 − (−1)) = 4, donc ω =

^2π_T

=

^π₂

. Le déphasage temporel est h = −1. L’amplitude est 3 et k = 1. La fonction est donc

f (t) = 3 sin π

2 (t + 1) + 1.

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