Soit la fonction F définie par : 1 2 F x x

(1)

PanaMaths Octobre 2007

Soit la fonction F définie par : 1 2 F x x

x

− + sur

^⎤_⎦

−∞ − ; 1

^{⎤ ⎤}_{⎦ ⎦}

∪ 2 ; +∞

^⎡_⎣

. Démontrer qu’il s’agit d’une primitive de la fonction f définie sur

; 1 2 ;

⎤ ⎤ ⎤ ⎡

⎦

−∞ −

⎦ ⎦

∪ +∞

⎣

par :

( )( )

1 3 2

: 2 1 2

x f x x

x x

− +

− + −

Analyse

On dérive la fonction F ...

Résolution

La fonction F apparaît comme la composée des fonctions u et v définies par :

( )

¹

2 u x x

x

= +

− et ^{v x}

( )

⁼ ^x

Calculons les dérivées de ces deux fonctions :

( ) ( ) ( )

( )

²

( )

²

( )

²

1 2 1 1 2 1 3

'

2 2 2

x x x x

u x

x x x

× − − + × − − − −

= = =

− − − et ^'

( )

¹

2 v x

= x

On en déduit alors pour tout x de

]

^{−∞ −}^{; 1}

[ ]

^∪ ^{2 ;}^{+ ∞}

[

^:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2

2 2

3 1 3 1

' 2 1 2 1

2 2

1 1

3 2 3 2

2 2 1 1 2 2 1

2 2 2

1

3 2

2 2 1

F x

x x

x x x x

x

x f x

x x

= − × = −

+ +

− −

+ +

− −

= − − −+ × −+ = − − −+

+

= − − =

− +

(2)

PanaMaths Octobre 2007

Résultat final

La fonction 1

: 2

F x x x

+

− est une primitive de la fonction

( )( )

1

3 2

: 2 2 1

x f x x

x x

+

− −

− +

sur l’intervalle

]

^{−∞ −}^{; 1}

[ ]

^∪ ^{2 ;}^{+ ∞}

[ .