Donner le tableau de signes de ln : x ln(x) 7

TS 8 Interrogation 11A : Correction 25 f´evrier 2017 Exercice 1 :

1. ln est d´efinie surI= `a valeur dans 2. pour tout r´eelx, ln(e^x) =

3. lim

x→+∞ln(x) = 4. lim

x→0ln(x) =

5. Rappeler les variations de ln surI 6. Donner le tableau de signes de ln :

x

ln(x) 7. ln⁰(x) =

8. Quelle relation graphique existe entre exp et ln ? Exercice 2 :

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln 2 et ln 5.

1. ln 20 2. ln ₂₅⁴

3. ln√ 10

Solution:

1. ln 20 = ln(2²×5) = 2 ln 2 + ln 5 2. ln ₂₅⁴

= 2 ln 2−2 ln 5 3. ¹₂ln 2 +¹₂ln 5 Exercice 3 :

D´eriver les fonctions suivantes surI :

1. f(x) =xln(x) + 2x,I=]0; +∞[ 2. g(x) = ln(9−x²),I=]−3; 3[

Exercice 4 :

Donner les limtes des fonctions suivantes : 1. lim

x→0(ln(x)−2x) 2. lim

x→+∞(ln(x)−2x)

Solution:

1. ln(x)−2x=−∞par somme.

2. ln(x)−2x=x ^ln_x^x−2 . lim

x→+∞

lnx x = 0.

Par produit lim

x→+∞(ln(x)−2x) =−∞

Exercice 5 :

R´esoudre les ´equations et in´equations suivantes :

1. lnx= 2 2. 4e^x−1>e^x+ 5

Solution:

1. lnx= 2⇔x= e². La solution est e².

2. 4e^x−1>e^x+ 5⇔e^x>³₂ ⇔x>ln ³₂