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Donner le tableau de signes de ln : x ln(x) 7

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TS 8 Interrogation 11A : Correction 25 f´evrier 2017 Exercice 1 :

1. ln est d´efinie surI= `a valeur dans 2. pour tout r´eelx, ln(ex) =

3. lim

x→+∞ln(x) = 4. lim

x→0ln(x) =

5. Rappeler les variations de ln surI 6. Donner le tableau de signes de ln :

x

ln(x) 7. ln0(x) =

8. Quelle relation graphique existe entre exp et ln ? Exercice 2 :

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln 2 et ln 5.

1. ln 20 2. ln 254

3. ln√ 10

Solution:

1. ln 20 = ln(22×5) = 2 ln 2 + ln 5 2. ln 254

= 2 ln 2−2 ln 5 3. 12ln 2 +12ln 5 Exercice 3 :

D´eriver les fonctions suivantes surI :

1. f(x) =xln(x) + 2x,I=]0; +∞[ 2. g(x) = ln(9−x2),I=]−3; 3[

Exercice 4 :

Donner les limtes des fonctions suivantes : 1. lim

x→0(ln(x)−2x) 2. lim

x→+∞(ln(x)−2x)

Solution:

1. ln(x)−2x=−∞par somme.

2. ln(x)−2x=x lnxx−2 . lim

x→+∞

lnx x = 0.

Par produit lim

x→+∞(ln(x)−2x) =−∞

Exercice 5 :

R´esoudre les ´equations et in´equations suivantes :

1. lnx= 2 2. 4ex−1>ex+ 5

Solution:

1. lnx= 2⇔x= e2. La solution est e2.

2. 4ex−1>ex+ 5⇔ex>32 ⇔x>ln 32

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