Aide-mémoire : signe d'une polynôme du premier ou second degré

AIDE‐MÉMOIRE ‐ SIGNE D’UN POLYNÔME

1. POLYNÔME DU PREMIER DEGRÉ

1.1. Définition

axb, avec a∈ R^∗et b∈ R

1.2. Racines

axb 0  ax  −b  x −b a

1.3. Tableau des signes

x − −^b_a 

axb signe de−a 0 signe de a

2. POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ

2.1. Définition

ax²bxc, avec a ∈ R^∗et b, c∈ R

2.2. Racines

Δ  b² −4ac (discriminant)

siΔ  0 siΔ  0 siΔ  0

ax² bxc 0 ax²bxc  0 ax²bxc  0

 x  −b Δ

2a ou x −b− Δ

2a  x  −b

2a pas de solutions dansR

2.3. Factorisation

siΔ  0 siΔ  0 siΔ  0

ax² bxc ax−x1x−x2 ax²bxc  ax−x0² on ne peut pas factoriser avec x1  −b Δ

2a et x2  −b− Δ

2a avec x0  −b

2a

2.4. Tableau des signes

siΔ  0 (on suppose x1 x2

x − x1 x2 

ax² bxc signe de a 0 signe de−a 0 signe de a siΔ  0

x − x0 

ax² bxc signe de a 0 signe de a siΔ  0

x − 

ax² bxc signe de a

Résumé: L’expression ax²bxc a le signe de a, sauf entre les racines.

Utilisation

Détermination d’un domaine de définition (fractions, racines carrées, logarithmes).

Calcul de limites (lever la forme indéterminée ⁰₀ par factorisation).

Étude des variations d’une fonction (signe de la dérivée).

SIGNE D’UN POLYNÔME : Exemples

1. Déterminer le signe de 2x−3 et de−4x−1.

2x−3 0 x  3

2 −4x−1 0 x  −1

4

a  2 (positif) a  −4 (négatif)

x − ³₂ 

2x−3 − 0 

x − −¹₄ 

−4x−1  0 −

2. Factoriser et déterminer le signe de x² x−6 et de−4x²12x−9

x² x−6 0 −4x² 12x−9 0

a1; b1; c−6;Δ 12_{−41 −6250 a−4; b12; c−9;Δ 12}2₋₄ −4  −90

x1  −15

2  2 et x2  −1−5

2  −3 x0  −12

−8  3 2

donc x²x−6 x−2x3 donc−4x²12x−9  −4 x− 3 2

2  − 2 x− 3 2

2  −2x−

x − −3 2 

x²x−6  0 − 0 

x − ³₂ 

−4x²12x−9 − 0 −

3. Déterminer le domaine de définition de la fonction définie par fx  2x²−5x−3 condition: 2x²−5x−3≥ 0

a2; b−5; c−3;Δ −52_−4

2 −3490

x1  57 4  12

4  3 et x2  5−7 4  −2

4  −1 2

x − −¹₂ 3 

2x² −5x−3  0 − 0  dom f  −;−1

2 3;

4. Résoudre dansR :3x2−4x²31x−21  0

3x2 0 x  −2 3

−4x²31x−21 0

a−4; b31; c−21;Δ 312−4 −4  −216250

x1  −3125

−8  −6

−8  3

4 et x2  −31−25

−8  −56

−8  7

x − −²₃ ³₄ 7 

3x2 − 0   

−4x² 31x−21 − − 0  0 −

3x2−4x²31x−21  0 − 0  0 − donc S  −;−2

3  3

4; 7

5. Déterminer le domaine de définition de la fonction définie par fx  3x1 2−x conditions: 3x1

x−2 ≥ 0 et 2−x ≠ 0

3x1 0 x  −¹₃ 2−x  0 x  2

x − −¹₃ 2 

3x1 − 0  

x−2 − − 0 

3x1

2−x  0 − ∥ 

dom f  −;−¹₃ 2;

6. Déterminer le domaine de définition de la fonction définie par fx  2x1  4−5x conditions:

2x1≥ 0  2x≥ −1  x ≥ −1 2 4−5x≥ 0  −5x≥ −4 x ≥ 4 5 dom f −1

2; 4 5

pour s’entraîner...

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes:

a) fx  x²−3x4 f) fx  2x−1 k) fx  3−4x  x5 b) fx  3x

2x² −6x g) fx  x x²−4 l) fx  2x5 2x² 3x5 c) fx  2x−1

x²1 h) fx  4x²x12 m) fx  x4 2x−1 d) fx  3x² 2

x²−1 i) fx  1−2x

3x n) fx  x4

2x−1

e) fx  4

3x²−13x−10 j) fx  3x

−x²−x2 o) fx  3x1 x²3x2

solutions finales

a) dom f R f) dom f ¹₂; k) dom f −5;³₄ b) dom f R^∗3 g) dom f −;−22; l) dom f R

c) dom f R h) dom f R m) dom f ¹₂;

d) dom f R−1; 1 i) dom f −; 0 0; ¹₂ n) dom f −;−4 ¹₂;

e) dom f R −²₃; 5 j) dom f −2; 1 o) dom f −2;−1 −¹₃;