I Vu en seconde
I.1 Fonction polynôme du second degré
Définition 1 Une fonction polynôme du second degré est une fonctionf définie surRparf(x) =ax2+bx+c où a,b, etcsont des nombres réels donnés aveca6= 0.
L’expressionax2+bx+cest encore appelée trinôme du second degré.
Exemple 1 :
• La fonctionH définie surRpart7−→ −4.9t2+ 9.8t+ 1.5est une fonction polynôme de degré deux.
• La fonctiong:x7−→0.5x2−3est également une fonction polynôme de degré deux.
• Qu’en est-il des:x7−→ −3(6x−2x3) +x2−6x3+ 1? et dev:x7−→2x2 1− 1
2x
+ 2?
I.2 Représentation graphique
La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 f est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées
− b 2a;f
− b 2a
. De plus :
• Si a >0, la paraboleCf est « tournée vers le haut ». (le sommetS de la courbe correspond au point le plus
« bas », l’ordonnée deS correspond au minimum def atteint en− b 2a)
• Si a <0, la parabole Cf est « tournée vers le bas ». (le sommet S de la courbe correspond au point le plus
« haut », l’ordonnée deS correspond au maximum def atteint en− b 2a) Exemple 2 :
f:x7−→ −x2+ 3x+ 1
x y
1 O 1
g:x7−→2x2−x−2
x y
1 O 1
I.3 Forme canonique d’un trinôme
Définition 2 (et propriété) Pour toute fonction polynôme du second degré définie surRparf(x) =ax2+bx+c aveca6= 0, on peut trouver deux nombres réelsαetβ tels que, pour tout réelx:
f(x) =a(x−α)2+β
Cette écriture de f(x)s’appelle laforme canoniquedu trinômeax2+bx+c.
Exemple 3 Soitf la fonction définie surRparf(x) = 2x2−8x+ 7.
Pour trouver la forme canonique : Factoriseradans les « termes enx»−→reconnaître le début du développement d’une identité remarquable−→conclure.
c’est à dire :
Démonstration : elle repose sur le même principe que l’exemple.
II Variations d’une fonction polynôme de degré 2
Propriété 1 :
Soitf une fonction polynôme de degré deux définie sur Rparf(x) =ax2+bx+c.
• Si a >0,f est décroissante sur
−∞;−b 2a
et croissante sur
− b 2a; +∞
.
• Si a <0,f est croissante sur
−∞;− b 2a
et décroissante sur
− b 2a; +∞
.
Démonstration :
a >0
Tableau de variations def : (a > 0) x
Variations de x 7→ ax2 +bx+c
−∞ −2ba +∞
f(−2ba) f(−2ba)
a <0
Tableau de variations de f : (a < 0) x
Variations de x 7→ ax2+bx+c
−∞ −2ba +∞ f(−2ba)
f(−2ba)
Exemple 4 :
Dresser les tableaux de variations des deux fonctions polynômes de degré 2 suivantes : h(x) = 4x−3x2+ 1etk(x) = 2
3x2+x+4 3
Remarque 1 La connaissance de la forme canonique permet de donner le maximum ou le minimum def (suivant le signe dea).
Sif(x) = 3x2−24x+ 4,f admet-elle un minimum ou un maximum ? En quelle valeur et combien vaut-il ?
III Équations du second degré et factorisation du polynôme
III.1 Équation du second degré
Définition 3 Une équation du second degré, d’inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax2+bx+c= 0oùa, betcsont des nombres réels donnés, aveca6= 0.
Une solution de cette équation est appelée racinedu trinômeax2+bx+c.
III.2 Résolution
Le nombre réelb2−4acest appelé discriminant du trinômeax2+bx+c. On le note ∆.
Résoudreax2+bx+c= 0 avec (a6= 0) revient à résoudre l’équation :a
"
x+ b 2a
2
− ∆ 4a2
#
= 0 qui s’écrit encore :
x+ b
2a 2
= ∆
4a2 Dans cette expression, les quantités
x+ b
2a 2
et 4a2 sont positives sauf peut-être ∆, ce qui nous permet d’énoncer le théorème suivant :
Théorème 1 D’après ce qui précéde, il résulte que si :
• ∆<0 , l’équation n’a pas de solution réelle.
• ∆=0 , l’équation aune seule solution x0=− b 2a .
• ∆>0 , l’équation adeux solutions: x1= −b+√
∆
2a et x2= −b−√
∆ 2a (J’encourage les curieux à lire la démonstration de ce théorème dans le livre page 27)
Exemple 5 Résoudre les équations suivantes :
• x2−4x+ 4 = 0
• −6x2+x+ 1 = 0
• 5x2+ 6x+ 2 = 0
III.3 Factorisation du trinôme
La factorisation d’un trinôme du second degré n’est pas toujours possible. Elle dépend de la valeur de ∆. Plus précisément, si :
Théorème 2 :
• ∆<0, aucune factorisation n’est possible.
• ∆=0, ax2+bx+c=a(x−x0)2 oux0 est la seule racine du trinôme.
• ∆>0, ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) oùx1 etx2 sont les racines du trinôme.
Exemple 6 Factoriser, si cela est possible,−4x2−12x+ 16.
IV Signe du trinôme
On désigne parf la fonction définie surRparf(x) =ax2+bx+cet parCf sa courbe représentative.
IV.1 Traduction graphique de ax
2+ bx + c = 0
Les solutions deax2+bx+c= 0, si elles existent,
sont les abscisses des points d’intersection deCf avec l’axe des abscisses.
IV.2 ax
2+ bx + c > 0 ou ax
2+ bx + c < 0
Les solutions de l’inéquation du second degréax2+bx+c >0 (resp.ax2+bx+c <0) , si elles existent, sont les abscisses des points deCf situés au-dessus (resp. au-dessous) de l’axe des abscisses.
IV.3 Tableaux de signes d’un trinôme
Ce qui précède trouve également une explication dans l’utilisation de la forme factorisée de ax2+bx+c si elle existe (on a vu que son existence dépend ...
En effet,
• Si ∆>0 : soientx1 etx2ses racines, avec (pour fixer les idées) x1< x2.
On obtient la factorisation suivante :f(x) =a(x−x1)(x−x2). Faisons un tableau de signes :
x x − x1
x − x2
Signe de (x−x1)(x−x2) Signe def(x) =a(x−x1)(x−x2)
−∞ x1 x2 +∞ 0
0
0 0
0 0
• Si ∆<0 : on utilise la forme canonique :f(x) =a
"
x+ b
2a 2
− ∆ 4a2
#
Comme ∆ est négatif, l’expression entre crochets est strictement positive, le signe def(x) est donc le même que celui dea.
x Signe def(x)
−∞ +∞
• Qu’en est-il pour ∆ = 0 ?
IV.4 Exemples de recherche de signes
Exemple 7 Déterminer le signe de−6x2+ 26x−8.
Exemple 8 Résoudre dansR, l’inéquation5x2+ 5√
2x−2060
V Tableau récapitulatif
V.1 Tableau à compléter
Voir document annexe complété par mes soins.
V.2 Un exercice
EXERCICE 1 Exercice de synthèse sans indication de méthode (recherche) Résoudre dansR, (2x2+ 3x+ 1)2= (2x2−4x−1)2
