Exercices sur le second degré 1S (signe du trinôme).

(1)

Exercice 1

I

1. Étudier lesigne dupolynôme

P = x ² + 9 x + 8

^sur

I = [0 ; 5]

^.

I

P = 120 x ² + 38 x − 5

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

I

P = x ² + 6 x + 6

^sur

I = R

^.

Exercice 2

I

P = x ² + 18 x + 80

^sur

I = [0 ; 5]

^.

I

P = − 6 x ² + 31 x − 5

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

I

P = − x ² + 4 x − 4

^sur

I = R

^.

Exercice 3

I

P = x ² − 16 x + 64

^sur

I = [0 ; 5]

^.

I

P = − 18 x ² − 45 x − 25

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

I

P = − x ² + 6 x + 7

^sur

I = R

^.

Exercice 4

I

P = x ² + 11 x + 30

^sur

I = [0 ; 5]

^.

I

P = 60 x ² − 52 x + 7

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

I

P = − x ² + x + 6

^sur

I = R

^.

Exercice 5

I

P = x ² − 12 x + 36

^sur

I = [0 ; 5]

^.

I

P = − 35 x ² − 36 x − 9

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

I

P = x ² + 8

^sur

I = R

^.

(2)

Corrigé de l’exercice 1

I

P = x ² + 9 x + 8

^sur

I = [0 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = 9 ² − 4 × 1 × 8 = 49

^et

√

49 = 7

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− 9 − √ 49

2 × 1 = − 9 − √ 49 2

− 9 + √ 49

2 × 1 = − 9 + √ 49 2

= − 9 − 7

2 = − 9 + 7

2 = − 16

2 = − 2

2 = − 8 = − 1

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = − 8

^et

x ₂ = − 1

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

entre lesracines.

Or

− 8

^et

− 1

^ne^sont^pas^dans

[0 ; 5]

^.^Ainsi

x 0 5

P ( x ) +

I

P = 120 x ² + 38 x − 5

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = 38 ² − 4 × 120 × ( − 5) = 3 844

^et

√

3 844 = 62

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− 38 − √ 3 844

2 × 120 = − 38 − √ 3 844 240

− 38 + √ 3 844

2 × 120 = − 38 + √ 3 844 240

= − 38 − 62

240 = − 38 + 62

240 = − 100

240 = 24

240 = − 5 × 20

12 × 20

= 1 × 24

10 × 24

= − 5

12 = 1

10

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = − 5

12

^et

x ₂ = 1 10

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

entre lesracines. Ainsi

x − 5 − 5

12

1 10 5

P ( x ) + 0 − 0 +

I

P = x ² + 6 x + 6

^sur

I = R

^.

Je calcule

∆ = 6 ² − 4 × 1 × 6 = 12

^et

√

12 = 2 √

3

^.

(3)

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− 6 − √ 12

2 × 1 = − 6 − √ 12 2

− 6 + √ 12

2 × 1 = − 6 + √ 12 2

= − 6 − 2 √ 3

2 = − 6 + 2 √

3 2

= − 3 × 2 − 1 × 2 √ 3 1 × 2

= − 3 × 2 + 1 × 2 √ 3 1 × 2

= − 3 − √

3 = − 3 + √

3

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = − 3 − √

3

^et

x ₂ = − 3 + √ 3

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

x −∞ − 3 − √

3 − 3 + √

3 + ∞

P ( x ) + 0 − 0 +

Corrigé de l’exercice 2

I

P = x ² + 18 x + 80

^sur

I = [0 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = 18 ² − 4 × 1 × 80 = 4

^et

√ 4 = 2

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− 18 − √ 4

2 × 1 = − 18 − √ 4 2

− 18 + √ 4

2 × 1 = − 18 + √ 4 2

= − 18 − 2

2 = − 18 + 2

2 = − 20

2 = − 16

2 = − 10 = − 8

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = − 10

^et

x ₂ = − 8

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

entre lesracines.

Or

− 10

^et

− 8

^ne ^sont ^pas^dans

[0 ; 5]

^.^Ainsi

x 0 5

P ( x ) +

I

P = − 6 x ² + 31 x − 5

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = 31 ² − 4 × ( − 6) × ( − 5) = 841

^et

√

841 = 29

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− 31 + √ 841

2 × ( − 6) = − 31 + √ 841

− 12

− 31 − √ 841

2 × ( − 6) = − 31 − √ 841

− 12

= − 31 + 29

− 12 = − 31 − 29

− 12

= − 2

− 12 = − 60

− 12

= 1 × ( − 2)

6 × ( − 2)

=5

= 1

6

(4)

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = 1

6

^et

x ₂ = 5

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

x − 5 1

6 5

P ( x ) − 0 +

I

P = − x ² + 4 x − 4

^sur

I = R

^.

Je calcule

∆ = 4 ² − 4 × ( − 1) × ( − 4) = 0

^.

Comme

∆ = 0

^,

P ( x )

^a ^une ^seule^racine

x ₀ = − 4

2 × ( − 1) = 2

^.

Comme

∆ = 0

^,

P ( x )

^s'annule^une ^seule ^fois^pour

x ₀ = 2

^et^est ^toujours ^du^signe ^de

a

.

x −∞ 2 + ∞

P ( x ) − 0 −

Corrigé de l’exercice 3

I

P = x ² − 16 x + 64

^sur

I = [0 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = ( − 16) ² − 4 × 1 × 64 = 0

^.

Comme

∆ = 0

^,

P ( x )

x ₀ = − ( − 16) 2 × 1 = 8

^.

Comme

∆ = 0

^,

P ( x )

^s'annule^une ^seule ^fois^pour

x ₀ = 8

^et^est ^toujours ^du^signe ^de

a

. Or

8

^n'est ^pas^dansl'intervalle

[0 ; 5]

^donc

x 0 5

P ( x ) +

I

P = − 18 x ² − 45 x − 25

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = ( − 45) ² − 4 × ( − 18) × ( − 25) = 225

^et

√

225 = 15

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− ( − 45) + √ 225

2 × ( − 18) = 45 + √ 225

− 36

− ( − 45) − √ 225

2 × ( − 18) = 45 − √ 225

− 36

= 45 + 15

− 36 = 45 − 15

− 36

= 60

− 36 = 30

− 36

= − 5 × ( − 12)

3 × ( − 12)

= − 5 × ( − 6)

6 × ( − 6)

= − 5

3 = − 5

6

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = − 5

3

^et

x ₂ = − 5

6

^.

(5)

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

x − 5 − 5

3 − 5

6 5

P ( x ) − 0 + 0 −

I

P = − x ² + 6 x + 7

^sur

I = R

^.

Je calcule

∆ = 6 ² − 4 × ( − 1) × 7 = 64

^et

√

64 = 8

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− 6 + √ 64

2 × ( − 1) = − 6 + √ 64

− 2

− 6 − √ 64

2 × ( − 1) = − 6 − √ 64

− 2

= − 6 + 8

− 2 = − 6 − 8

− 2

= 2

− 2 = − 14

− 2

= − 1 =7

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = − 1

^et

x ₂ = 7

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

x −∞ − 1 7 + ∞

P ( x ) − 0 + 0 −

Corrigé de l’exercice 4

I

P = x ² + 11 x + 30

^sur

I = [0 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = 11 ² − 4 × 1 × 30 = 1

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− 11 − √ 1

2 × 1 = − 11 − √ 1 2

− 11 + √ 1

2 × 1 = − 11 + √ 1 2

= − 11 − 1

2 = − 11 + 1

2 = − 12

2 = − 10

2 = − 6 = − 5

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = − 6

^et

x ₂ = − 5

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

entre lesracines.

Or

− 6

^et

− 5

^ne^sont^pas^dans

[0 ; 5]

^.^Ainsi

x 0 5

P ( x ) +

(6)

I

P = 60 x ² − 52 x + 7

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = ( − 52) ² − 4 × 60 × 7 = 1 024

^et

√

1 024 = 32

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− ( − 52) − √ 1 024

2 × 60 = 52 − √ 1 024 120

− ( − 52) + √ 1 024

2 × 60 = 52 + √ 1 024 120

= 52 − 32

120 = 52 + 32

120 = 20

120 = 84

120 = 1 × 20

6 × 20

= 7 × 12

10 × 12

= 1

6 = 7

10

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = 1

6

^et

x ₂ = 7 10

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

x − 5 1

6

7 10 5

P ( x ) + 0 − 0 +

I

P = − x ² + x + 6

^sur

I = R

^.

Je calcule

∆ = 1 ² − 4 × ( − 1) × 6 = 25

^et

√

25 = 5

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− 1 + √ 25

2 × ( − 1) = − 1 + √ 25

− 2

− 1 − √ 25

2 × ( − 1) = − 1 − √ 25

− 2

= − 1 + 5

− 2 = − 1 − 5

− 2

= 4

− 2 = − 6

− 2

= − 2 =3

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = − 2

^et

x ₂ = 3

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

x −∞ − 2 3 + ∞

P ( x ) − 0 + 0 −

Corrigé de l’exercice 5

I

P = x ² − 12 x + 36

^sur

I = [0 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = ( − 12) ² − 4 × 1 × 36 = 0

^.

Comme

∆ = 0

^,

P ( x )

x ₀ = − ( − 12) 2 × 1 = 6

^.

∆ = 0 P ( x ) x ₀ = 6 a

(7)

Or

6

^n'est ^pas^dansl'intervalle

[0 ; 5]

^donc

x 0 5

P ( x ) +

I

P = − 35 x ² − 36 x − 9

^sur

I = [ − 5 ; 5]

^.

Je calcule

∆ = ( − 36) ² − 4 × ( − 35) × ( − 9) = 36

^et

√

36 = 6

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^a ^deux^racines^:

− ( − 36) + √ 36

2 × ( − 35) = 36 + √ 36

− 70

− ( − 36) − √ 36

2 × ( − 35) = 36 − √ 36

− 70

= 36 + 6

− 70 = 36 − 6

− 70

= 42

− 70 = 30

− 70

= − 3 × ( − 14)

5 × ( − 14)

= − 3 × ( − 10)

7 × ( − 10)

= − 3

5 = − 3

7

Lesracinesde

P

sont

x ₁ = − 3

5

^et

x ₂ = − 3 7

^.

Comme

∆ > 0

^,

P ( x )

^est ^du^signe ^de

− a

x − 5 − 3

5 − 3

7 5

P ( x ) − 0 + 0 −

I

P = x ² + 8

^sur

I = R

^.

Je calcule

∆ = 0 ² − 4 × 1 × 8 = − 32

^.

Comme

∆ < 0

^,

P ( x )

^n'a ^pas^de^racines. ^Comme

∆ < 0

^,

P ( x )

^ne ^s'annule ^pas^et^est^toujours ^du ^signe

de

a

Ainsi

x −∞ + ∞

P ( x ) +

Exercices sur le second degré 1S (signe du trinôme).

Exercice 1

I

P = x 2 + 9 x + 8

I = [0 ; 5]

I

P = 120 x 2 + 38 x − 5

I = [ − 5 ; 5]

I

P = x 2 + 6 x + 6

I = R

Exercice 2

I

P = x 2 + 18 x + 80

I = [0 ; 5]

I

P = − 6 x 2 + 31 x − 5

I = [ − 5 ; 5]

I

P = − x 2 + 4 x − 4

I = R

Exercice 3

I

P = x 2 − 16 x + 64

I = [0 ; 5]

I

P = − 18 x 2 − 45 x − 25

I = [ − 5 ; 5]

I

P = − x 2 + 6 x + 7

I = R

Exercice 4

I

P = x 2 + 11 x + 30

I = [0 ; 5]

I

P = 60 x 2 − 52 x + 7

I = [ − 5 ; 5]

I

P = − x 2 + x + 6

I = R

Exercice 5

I

P = x 2 − 12 x + 36

I = [0 ; 5]

I

P = − 35 x 2 − 36 x − 9

I = [ − 5 ; 5]

I

P = x 2 + 8

I = R

Corrigé de l’exercice 1

I

P = x 2 + 9 x + 8

I = [0 ; 5]

∆ = 9 2 − 4 × 1 × 8 = 49

√

49 = 7

∆ > 0

P ( x )

− 9 − √ 49

2 × 1 = − 9 − √ 49 2

− 9 + √ 49

2 × 1 = − 9 + √ 49 2

= − 9 − 7

2 = − 9 + 7

2

= − 16

2 = − 2

2

= − 8 = − 1

P

x 1 = − 8

x 2 = − 1

∆ > 0

P ( x )

− a

− 8

− 1

[0 ; 5]

P = x ² + 9 x + 8

P = 120 x ² + 38 x − 5

P = x ² + 6 x + 6

P = x ² + 18 x + 80

P = − 6 x ² + 31 x − 5

P = − x ² + 4 x − 4

P = x ² − 16 x + 64

P = − 18 x ² − 45 x − 25

P = − x ² + 6 x + 7

P = x ² + 11 x + 30

P = 60 x ² − 52 x + 7

P = − x ² + x + 6

P = x ² − 12 x + 36

P = − 35 x ² − 36 x − 9

P = x ² + 8

P = x ² + 9 x + 8

∆ = 9 ² − 4 × 1 × 8 = 49

x ₁ = − 8

x ₂ = − 1

P = 120 x ² + 38 x − 5

∆ = 38 ² − 4 × 120 × ( − 5) = 3 844

x ₁ = − 5

x ₂ = 1 10

P = x ² + 6 x + 6

∆ = 6 ² − 4 × 1 × 6 = 12

x ₁ = − 3 − √

x ₂ = − 3 + √ 3