Pour cela, on va utiliser les résultats obtenus précédemment.
On a trouvé : ax2+bx+c=a
"
µ x+ b
2a
¶2
− ∆ 4a2
#
On a trouvé : ax2+bx+c=a
"
µ x+ b
2a
¶2
− ∆ 4a2
#
Trois cas se présentent, selon le signe de∆
La forme canonique est :ax2+bx+c=a
"µ x+ b
2a
¶2
− ∆ 4a2
# .
Comme∆<0,− ∆ 4a2>0
Comme∆<0,− ∆ 4a2>0
µ x+ b
2a
¶2
Ê0
La forme canonique est :ax2+bx+c=a
"µ x+ b
2a
¶2
− ∆ 4a2
# .
Comme∆<0,− ∆ 4a2>0
µ x+ b
2a
¶2
Ê0
donc
"µ x+
b 2a
¶2
− ∆ 4a2
#
>0.
Comme∆<0,− ∆ 4a2>0
µ x+ b
2a
¶2
Ê0
donc
"µ x+
b 2a
¶2
− ∆ 4a2
#
>0.
L’expressionax2+bx=c est donc du signe deapour toutx.
Alors :ax2+bx+c=a µ
x+ b 2a
¶2
.
Pour toutx, µ
x+ b 2a
¶2
Ê0 (nulle seulement pourx= − b 2a).
Pour toutx, µ
x+ b 2a
¶2
Ê0 (nulle seulement pourx= − b 2a).
L’expression est donc du signe dea, sauf en− b
2a, valeur pour laquelle l’expression s’annule.
On a vu queax2+bx+c s’annule pour deux valeursx1 etx2
Alors :ax +bx+c=a(x−x1)(x−x2).
On a vu queax2+bx+c s’annule pour deux valeursx1 etx2 Alors :ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Supposons quex1<x2et renseignons un tableau de signes :
Alors :ax +bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Supposons quex1<x2et renseignons un tableau de signes :
x −∞ x1 x2 +∞
Signe dex−x1 − 0 + +
Signe dex−x2 − − 0 +
Signe dea(x−x1)x−x2 + − 0 + Signe dea(x−x1)(x−x2) Signe dea0Signe de−a0Signe dea
On a vu queax2+bx+c s’annule pour deux valeursx1 etx2 Alors :ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Supposons quex1<x2et renseignons un tableau de signes :
x −∞ x1 x2 +∞
Signe dex−x1 − 0 + +
Signe dex−x2 − − 0 +
Signe dea(x−x1)x−x2 + − 0 + Signe dea(x−x1)(x−x2) Signe dea0Signe de−a0Signe dea
ax2+bx+c est du signe deaà l’extérieur de l’intervalle formé par les racines et du signe opposé à celui deaentre les racines.
∆<0 ax2+bx+c est du signe dea.
sauf enx= − 2a où l’expression s’annule.
∆<0 ax2+bx+c est du signe dea.
∆=0 ax2+bx+c est du signe dea sauf enx= −b
2a où l’expression s’annule.
∆>0 ax2+bx+c est du signe dea
en dehors de l’intervalle formé par les racines et du signe opposé à celui dea
entre les racines.
