1
©pa2015
Second degré
Vocabulaire
Soit a, b et c trois réels donnés tels que a ≠ 0.
La fonction définie sur par f(x) = ax2+ bx + c s’appelle un trinôme.
L’équation ax2+ bx + c = 0 s’appelle une équation du second degré.
Une solution de cette équation s’appelle une racine du trinôme.
Équation du second degré : résolution dans
Soit ∆ = b2− 4ac, appelé le discriminant de l’équation.
Si ∆ < 0, S = ∅ (pas de solution dans ).
Si ∆ = 0, S = {− a b
2 } (une seule solution, ou solution double).
Si ∆ > 0, S = { a b
2
∆
−
− ,
a b
2
∆ +
− } (deux solutions distinctes).
Factorisation du trinôme
Si ∆ < 0, la forme canonique f(x) = a[(
a x b
2 + )2−
2 2
4 4 a
ac b −
] est la meilleure factorisation dans .
Si ∆ = 0, f(x) peut se factoriser sous la forme f(x) = a(
a x b
2 + )2.
Si ∆ > 0, f(x) peut se factoriser sous la forme f(x) = a(x − x1)(x − x2), où x1 et x2 sont les deux solutions de l'équation.
2
©pa2015
Signe du trinôme
ax2+ bx + c est du signe de a, sauf entre les racines, quand il y en a.
Tableaux de signes
a > 0 a < 0
Interprétations graphiques 0
<
∆ ∆ =0 ∆>0
0 a>
y= 4 3 2
x − 3x+4
O
S
pas de racine trinôme toujours strictement positif
y= 4 3 2
x − 3x+3
O S
une racine trinôme toujours positif
y= 4 3 2
x − 3x+1
O
S deux racines
trinôme négatif entre les racines
0 a<
y= − 2 3 2
x +6x − 7
O
S
pas de racine trinôme toujours strictement négatif
y= − 2 3 2
x +6x− 6
O S
une racine trinôme toujours négatif
y= − 2 3 2
x +6x − 4
O
S
deux racines
trinôme positif entre les racines
3
©pa2015
Variations du trinôme
Tableaux de variations
a > 0 a < 0
Représentation graphique et récapitulation
a > 0 a < 0
