Équations diﬀérentielles linéaires du premier ordre

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Chapitre 18

Équations différentielles linéaires du premier ordre

a. Position du problème

Soita, bdeux réels données, aveca6= 0. On cherche à determiner les fonctionsy dérivables sur R, solutions pour tout xdeRde l’équation différentielle :

(E) : y^′ =ay+b

b. Forme des solutions

Théorème 1

Soita,bdeux réels données, aveca6= 0et(E)l’équation différentielley^′=ay+b.

Les solutions surRde l’équation différentielle(E)sont les fonctions définies surRde la formex7→ −b

a+ke^ax aveckune contante réelle.

■ Démonstration :

Soitf la fonction définie surRparf(x) =−b

a+keâx, on a pour toutxdeR: f^′(x) =a×keâx=a×keâx−b+b=a(−b

a+ke^ax) +b=af(x) +b on en déduit quef est une solution de (E).

Réciproquement :

y est une fonction constante solution de (E)⇔0 =ay+bd’oùy=−b a. Ainsi l’unique fonction constante de solution de (E) estf0 : x7−→ −b

a. Soitg une solution de (E), on a pour toutxdeR,g^′(x) =ag(x) +b.

Or (g−f0)^′ =g^′−f^′₀=ag+b−af0−b=a(g−f0), d’après la chapitre 1 comme (g−f0)^′ =a(g−f0) il existe une constantek telle que pour toutxdeR, (g−f0)(x) =ke^ax ainsig(x) =−b

a +ke^ax.

c. Solution avec condition initiale

Théorème 2

Soita,bdeux réels données, aveca6= 0et(E)l’équation différentielley^′=ay+b.

Pour tout couple(x0;y0)de réels, l’équation(E)admet une unique solutionf définie surRet vérifiantf(x0) =y0.

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CHAPITRE 18. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE

d. Exemple détaillé

·

^{Exercice 1}

On considère l’équation différentielle surR

(E) : 2y^′+ 3y= 6.

1. Résoudre surRl’équation différentielle (E).

2. Déterminer l’unique solutiong de (E) vérifiantg(−1) = 0.

Corrigé 1. L’équation peut s’écrirey^′ =−3

2y+ 3, les solutions sont les fonctionsf de la formef : x7→2 +ke⁻³²^x aveckune contante réelle.

2. Dire queg est une solution de (E) signifie qu’il existe un réelktel que :

pour toutxréel, g(x) = 2 +ke⁻³²^x org(−1) = 0 d’où 0 = 2 +ke³² soitk=−2e⁻³² on a alorsg(x) = 2−2e⁻³²⁽^x⁺¹⁾.

e. Objectif Bac

·

Exercice 2 Antilles-Guyane 2008

Soit l’équation différentielle (E) :y^′+ 2y= 3e⁻³^x et Soitf la fonction définie surRpar : f(x) = 9

2e⁻²^x−3e⁻³^x. 1. Résoudre l’équation différentielle (E^′) :y^′+ 2y= 0.

2. En déduire que la fonctionhdéfinie surRparh(x) = 9

2e⁻²^x est solution de (E^′).

3. Vérifier que la fonctiong définie surRparg(x) =−3e⁻³^x est solution de l’équation (E).

4. En remarquant quef =g+h, montrer quef est une solution de (E).

Corrigé

1. (E’)⇐⇒y^′=−2y. D’après le cours, les solutions de (E’) sont les fonctions définies surRde la formex7→Ce⁻^2x, où C est une constante réelle.

2. En particulier, avecC=9

2, on obtient la fonctionh.

3. g est dérivable surRetg^′(x) = 9e⁻³^x. Par conséquent, pour tout réelx: g^′(x) + 2g(x) = 9e⁻³^x−6e⁻³^x= 3e⁻³^x, ce qui prouve que gest bien solution de (E).

4. Commef =g+h, on a f^′=g^′+h^′, donc, pour tout réelx: f^′(x) + 2f(x) =g^′(x) + 2g(x)

| {z }

3e⁻^3x

+h^′(x) + 2h(x)

| {z }

0

= 3e⁻^3x,

et f est alors bien solution de (E).

·

^{Exercice 3}

Soit l’équation différentielle (E1) :y^′−2y= 1−32x.

1. Montrer qu’il existe une fonction affinehsolution de cette équation.

2. Soitf une fonction définie surR, montrer quef est une solution de (E1) si et seulement, si f −hest une solution de l’équation différentielley^′−2y= 0.

3. En Déduire les solutions de (E1).

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