Sur quelques équations non linéaires aux dérivées partielles du premier ordre

Conformément aux idées de Sophus Lie, nous appellerons intégrale complète d'une équation de contact E [n° 1] toute famille de multiplicités, à un même nombre quelconque s

^ En un point quelconque de la courbe I\ trace d u conoïde caracté- ristique de sommet 0 sur la surface S, ou, plus généralement, en un point quelconque de l'aire S^ la surface S e

L'objet de ce Travail est l'étude des systèmes d'équations aux déri- vées partielles définissant une fonction de n variables indépendantes et dont la solution générale dépend

Supposons A ^ o sur la courbe analytique Ç = ^ o ; nous pourrons alors, d'après le théorème général de Cauchy, déterminer une solution holomorphe de l'équation (ï) par

Cauchy n'est plus admissible lorsque l'intégrale J ^dx cesse d'avoir une valeur finie et déterminée* Cette circonstance pourra se présenter et se présentera effec- tivement, si

En rapprochant les résultats qui viennent d'être établis de ceux que j'ai démontrés dans mon travail déjà cité des Annales de la Faculté de Toulouse, on voit que l'on connaît

11 pourra arriver : ou bien que la droite ( 2 ) ne rencontre pas du tout la surface, auquel cas il y a impossibilité de faire passer une surface intégrale par la multiplicité

Cette dernière jouit de la propriété remarquable de contenir toutes les solutions des équations (io) pour le domaine où leurs coefficients sont holomorphes, comme je l'ai démontré