VII Équations différentielles linéaires

VII Équations différentielles linéaires

5 novembre 2013

KdésigneRou C.

1. Résultats d’analyse

1.1. Continuité et dérivabilité d’une fonction à valeurs complexes

I est toujours un intervalle deRetf : I →C.

Définition 1.1.1.

On appelle partie réelle de f la fonction Re(f) :

I → R

x 7→ Re(f(x)) .

De même on appelle partie imaginaire de f la fonction Im(f) : I → R

x 7→ Im(f(x)) .

On peut alors décomposerf en Re(f) +iIm(f).

Exemple 1.1.2.

f(x) = (2 +i)e^(1+i)x.

Définition 1.1.3. (i) On dit que f est conti- nue (resp.dérivable) enasi Re(f) et Im(f) le sont. Dans le cas où f est dérivable, on appelle dérivée def enanotéef⁰(a) le com- plexef⁰(a) = (Re(f))⁰(a) +i(Im(f))⁰(a).

(ii) On dit quef est continue (resp. dérivable) sur un intervalle si elle l’est en tout point de cet intervalle.

(iii) On note (notations non officielles)C(I,K) et D(I,K) l’ensemble des fonctions respec- tivement continues et dérivables de I dans K.

Théorème 1.1.4.

Soit ϕ ∈ D(I,K). L’application x 7→ e^ϕ(x) est dérivable sur I de dérivée l’application x 7→

ϕ⁰(x)e^ϕ(x).

Démonstration.

On dérivee^Re(ϕ) (on obtient (Re(ϕ))⁰×e^Re(ϕ)), puis on dérive d’un côté Re(e^ϕ(x)) =e^Re(ϕ)cosϕet Im(e^ϕ(x)) = e^Re(ϕ)sinϕde l’autre.

Exemple 1.1.5.

On dérive la fonction de l’exemple précédent.

1.2. Rappels d’intégration

Définition 1.2.1.

Soit f : I → C et F : I → C. On dit que F estUNE primitive de f si et seulement siF est dérivable surI, de dérivée f.

Théorème 1.2.2.

Soit f : I → K dérivable. La fonction f est constante si et seulement si∀x∈I,f⁰(x) = 0.

Corollaire 1.2.3.

Toutes les primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante, et quand cette constante parcourt K, on obtient toutes les primitives. Autrement dit, siF est une primitve def, {F+λ, λ∈K}est l’ensemble de toutes les primitives de f.

Démonstration.

SoitF etGdeux primitives d’une même application sur un intervalle. AlorsF⁰=G⁰, donc (F−G)⁰ est nulle sur cet intervalle, doncF−Gest constante sur cet intervalle.

Donc toutes les primitives d’une même application diffèrent d’une constante.

Réciproquement, si F est une primitive de f, il est aisé de voir que F+λ est une primitive def pour tout λ∈K.

Il convient de connaître toutes les primitives du formulaire.

Exercice 1.2.4.

Soient a, b, ctrois réels. Calculer les primitives de

x7→ 1

ax²+bx+c.

Définition 1.2.5.

Soient a, b ∈ I et f ∈ C(I,C). On appelle in- tégrale de f sur [a, b] le complexe

Z b a

f(t) dt = Z b

a

Re(f)(t) dt+i Z b

a

Im(f)(t) dt.

• Attention : l’interprétation en terme d’aire ne veut rien dire pour une fonction à valeurs com- plexes.

•Exemple : Z 2π

0

(1+i)e^ix. (2 méthodes : en sépa- rant parties réelle et imaginaire, ou en primitivant directement).

Théorème 1.2.6 (Le théorème fondamental de l’analyse).

Soit f ∈C(I,K). Soita∈I.

(i) La fonction :







I → K

x 7→

Z x a

f(t) dt est une primitve de f.

(ii) Soit A ∈ K. La fonction F :







I → K

x 7→ A+ Z x

a

f(t) dt est la seule primitive de f telle queF(a) =A.

Remarque 1.2.7.

C’est ce théorème qui assure que “ Z b

a

f(t) dt= F(b)−F(a)”.

Exemple 1.2.8.

Soient a et b deux réels. Calculer les primitives de x7→e^axcos(bx) et celles de x7→e^axsin(bx).

1.3. Méthodes de calcul a. Intégration par parties

Théorème 1.3.1.

Soient u et v ∈ C¹(I,R) et a, b ∈ I. Alors Z b

a

u⁰v= [uv]^b_a− Z b

a

uv⁰.

Démonstration.

Puisqueu, vsont de classeC¹,u⁰v+uv⁰est continue, donc admet une primitiveF surI. Oruvest une primitive de u⁰v+uv⁰, et on finit avec le théorème fondamental.

Exemple 1.3.2.

Les grands classiques :

•Trouver une primitive de ln. Idem avec Arctan.

•Trouver une primitive du produit d’un polynôme et d’une exponentielle : par exemple (x²+ 1)e^x.

• Trouver une primitive du produit d’une fonc- tion trigonométrique et d’une exponentielle : par exemple cos(x)e^2x.

• Trouver une primitive du produit d’un poly- nôme et d’une fonction trigonométrique : par exemplex²cosx.

b. Changement de variable

Théorème 1.3.3.

Soit ϕ ∈C¹(I,R) et f ∈C⁰(J,R), où J est un intervalle de R.

On suppose que ϕ(I)⊂J. Soienta, b∈I. Alors

Z ϕ(b) ϕ(a)

f(t) dt= Z b

a

ϕ⁰(t).(f ◦ϕ)(t) dt.

Remarque 1.3.4.

Moyen mnémotechnique : on écrit “x=ϕ(t)” (au brouillon seulement !). Alors dx = ϕ⁰(t) dt, donc

Z

f(x) dx= Z

f(ϕ(t))ϕ⁰(t) dt. Reste le pro- blème des bornes. Quand tva de aà b,x=ϕ(t) va deϕ(a) àϕ(b). Et voilà ...

Démonstration.

ϕ∈C¹,f ∈C⁰, doncϕ⁰.f◦ϕ∈C⁰, doncf admet une primitveF, etϕ⁰.f◦ϕadmetF◦ϕcomme primitive.

On déduit alors le résultat du théorème fondamental : Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(t) dt= [F]^ϕ(b)_ϕ(a)=F(ϕ(b))−F(ϕ(a))

= [F◦ϕ]^b_a= Z b

a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t) dt

Exemple 1.3.5.

Calculons l’aire de l’ellipse d’équation x² a²+y²

b² = 1.

Le quart supérieur droit de cette ellipse peut être paramétré par



x, b s

1− x² a²



,x allant de 0 àa.

On calcule donc I = Z a

0

b s

1−x² a² dx.

On effectue le changement de variable x = acosθ et on obtient : I =

−ab Z 0

π/2

sin²θdθ = ab Z π/2

0

1−cos(2θ)

2 dθ =

1

4πab−ab 2

1

2sin(2θ) π/2

0

= 1 4πab.

L’aire de l’ellise est doncπab.

Proposition 1.3.6.

Soitf : R→Rune application continue.

1. Si f est paire et a ∈ R alors Z a

−a

f = 2

Z 0

−af = 2 Z a

0

f.

2. Sif est impaire et a∈R alors Z a

−a

f = 0 et Z 0

−a

f =− Z a

0

f.

3. Sif estT-périodique (T >0) et a∈Ralors Z T

0

f = Z a+T

a

f.

Remarque 1.3.7.

En fait, ces résultats sont mêmes vrais dans le cas oùf est seulement intégrable. Mais ils sont alors plus délicats à démontrer.

Démonstration. 1. On considère Z a

0

f(t) dt et on posex=−t.

Donc Z a

0

f(t) dt =

Z −a 0

−f(−x) dx =

− Z ^−a

0

f(x) dx= Z 0

−a

f(x) dx.

2. Comme le point précédent avec Z a

0

f(t) dt = Z ^−a

0

−f(−x) dx= Z ^−a

0

f(x) dx=− Z 0

−a

f(x) dx.

3. On peut commencer à regarder à partir d’un dessin, dans le cas où−T < a <0.

On a :

Z a+T a

f= Z 0

a

f+ Z a+T

0

f

Or par changement de variablex=t+T, on obtient Z 0

a

f(t) dt= Z T

a+T

fdx D’où

Z a+T a

f= Z T

a+T

f+ Z a+T

0

f= Z T

0

f

On peut remarquer que l’hypothèse−T < a <0qui a nourri notre intuition ne joue en fait aucun rôle : elle n’est utilisée nulle part dans la démonstration.

Nous avons donc le résultat attendu.

2. Généralités

2.1. Cadre

– On s’intéressera à des équations différentielles dont les solutions sont à valeurs dansK, avec K=R ouK=C.

– On considéreraI un intervalle ouvert deR. – On s’intéressera uniquement à des équations

différentielleslinéaires

Définition 2.1.1 (Équation différentielle li- néaire).

Soit nun entier, eta₀,. . . ,an−1 et bdes applica- tions continues de I dansK, alors

– On appelle équation différentielle linéaire d’ordren l’équation

y⁽ⁿ⁾+an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .

+a1(t)y⁰+a0(t)y=b(t) (E) – Une solution de cette équation est une ap-

plication f : I → K n fois dérivable sur I vérifiant

∀t∈I f⁽ⁿ⁾(t) +an−1(t)f⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +. . .+a1(t)f⁰(t) +a0(t)f(t) =b(t) – L’équation (E) est ditehomogène si

b= 0_KI

– L’équation homogène associée à (E) est y⁽ⁿ⁾+an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾

+. . .+a1(t)y⁰+a0(t)y= 0 (H)

Remarque 2.1.2.

Nous ne nous intéresserons pas dans le reste de ce chapitre au cas plus général d’une équation

an(t)y⁽ⁿ⁾+an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .

+a₁(t)y⁰+a₀(t)y=b(t) (E) où on a également affecté y⁽ⁿ⁾ d’un coefficient an(t).

En effet :

– Sia_n ne s’annule pas, il suffit de diviser cette équation par an(t) pour se ramener au cas étudié ici.

– Si a_n s’annule, il est difficile de donner des résultats généraux. En pratique, si on ren- contre une telle équation oùan s’annule, on cherchera en général les solutions sur les inter- valles oùan ne s’annule pas et on regardera au cas par cas comment recoller les solutions aux points où a_n s’annule.

Définition 2.1.3 (Problème de Cauchy).

Soit – t₀ ∈I

– y₀,. . . ,yn−1 des éléments deK

La recherche des solutionsf de (E) vérifiant les conditions initiales suivantes :

f(t0) =y0

etf⁰(t0) =y1

. . .

etf⁽ⁿ⁻¹⁾(t₀) =yn−1

est appeléproblème de Cauchy linéaire d’ordre n

Exemple 2.1.4.

En physique les déplacement d’un mobile sont régis par l’équation de la dynamique reliant la dérivée seconde de la position et les forces qui s’appliquent au mobile, qui dépendent en général de sa position et ou de sa vitesse. Il s’agit donc d’une équation différentielle d’ordre 2.¹ Il est rai- sonnable de penser que le problème de Cauchy a alors une unique solution : une position initiale et une vitesse initiale étant données, une seule trajectoire est possible.

2.2. Structure de l’ensemble des solutions

Proposition 2.2.1.

Soit

1. En général linéaire dans les problèmes de prépa mais dans la vraie vie c’est parfois plus compliqué.

– n∈N

– (E) une équation différentielle linéaire d’ordren, d’ensemble de solutions S_E – (H) l’équation homogène associée, d’en-

semble de solutionsS_H Alors

1. S_E ⊂Cⁿ(I,K)

2. S_H est non-vide et est stable par combinai- sons linéaires.

3. Pour touty₀ ∈S_E fixé, on a S_E ={y0+y|y∈S_H }

4. En particulier, S_E est l’ensemble vide ou un singleton ou un ensemble infini.

Démonstration.

Sous les hypothèses de l’énoncé :

1. Toute solutionf est nécessairementnfois dérivable et pour toutt∈I,

f⁽ⁿ⁾(t) =b(t)−an−1(t)f⁽ⁿ⁻¹⁾(t)−. . .

−a1(t)f⁰(t)−a0(t)f(t)

Or b, an−1, f⁽ⁿ⁻¹⁾, . . . , a0, f sont des applica- tions continues. Donc f⁽ⁿ⁾ est continue, doncf ∈ Cⁿ(I, K).

2. L’application nulle est une solution triviale deS_H, doncS_H est non vide.

Pour toute applicationf nfois dérivable et toutt∈I, notonsψf(t) le scalaire

f⁽ⁿ⁾(t) +an−1(t)f⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +. . .+a1(t)f⁰(t) +a0(t)f(t)

On a alorsf∈S_H ⇐⇒ ∀t∈I ψf(t) = 0 (ou, de façon plus concise :f∈S_H ⇐⇒ ψf = 0_KI).

Soit alorsfetgdeux applicationsnfois dérivables de IdansKetλetµdeux éléments deK. Alorsλf+µg est évidemmentnfois dérivable. Et pour toutt∈I, on a ψλf+µg(t) = λψf(t) +µψf(t) (autrement dit ψλf+µg=λψf+µψg).

En particulier, sif etgsont solutions de l’équation homogène, on aψf = 0 etψg = 0, doncψλf+µg= 0 doncλf+λg∈S_H.

3. Soit y0 ∈ S_E fixé. On a donc, pour tout t ∈ I, ψy₀(t) =b(t)

Soit alorsf:I→Kune applicationnfois dérivable.

On a

f∈S_E ⇐⇒ ψf =b

⇐⇒ ψf =ψy₀

⇐⇒ ψf−y₀= 0

⇐⇒ f−y0∈S_H

Donc pour toutf∈S_E,fs’écrit sous la formey0+y oùy∈S_H. DoncS_E ⊂ {y0+y|y∈S_H }.

Réciproquement, pour touty∈ScH, l’applicationf définie parf=y0+yestnfois dérivable etf−y0∈ S_H, doncf∈S_E. Donc{y0+y|y∈S_H } ⊂S_E. On a donc bienS_E ={y0+y|y∈S_H }.

4. On sait queS_H n’est pas vide puisqu’il contient au moins l’application nulle. Supposons qu’il contienne au moins une autre applicationf. Alors pour tout λ∈K,λfappartient également àS_H. Donc ou bien S_H est réduit à un élément, ou bien il est infini.

D’après le point précédent, siS_E possède au moins un élémenty0, on aS_E ={y0+y|y∈S_H }. Donc y7→y0 est une bijection deS_H surS_E, doncS_E est ou bien réduit à un élément (y0) ou bien est infini.

Donc ou bienS_E est vide, ou il est réduit à un élément, ou il est infini.

Théorème 2.2.2 (Principe de superposition).

Soitn un entier, a0,. . . ,an−1, b1,b2 des applica- tions continues deI dansKet (λ1, λ2)∈ K². On considère les équations

y⁽ⁿ⁾+an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .+a1(t)y⁰+a0(t)y=b1(t) (E1) y⁽ⁿ⁾+an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .+a1(t)y⁰+a0(t)y=b2(t)

(E2) y⁽ⁿ⁾+an−1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+. . .+a1(t)y⁰+a0(t)y=λ1b1(t) +λ2b2(t)

(E)

Alors pour toute solutiony1deE1et toute solution y₂ de E2,λ₁y₁+λ₂y₂ est une solution de E.

Démonstration.

On reprend les notations de la démonstration de la proposi- tion 2.2.1. Soity1ety2des solutions respectives deE1etE2. On aψy₁=b1etψy₂ =b2. Orψλ₁y₁+λ₂y₂=λ1ψy₁+λ2ψy₂. Doncψλ1y1+λ2y2 =λ1b1+λ2b2.

Théorème 2.2.3(Solutions du problème de Cau- chy linéaire).

Soitn un entier naturel etE une équation diffé- rentielle linéaire d’ordren. Alors, pour tout choix des conditions initiales, le problème de Cauchy linéaire d’ordre nadmet une unique solution.

Remarque 2.2.4.

Ce théorème est hors-programme dans le cas géné- ral. Sa démonstration dans le cas général requiert en effet des outils d’analyse que nous n’avons pas encore à notre disposition.

En revanche, dans les cas n = 1 et n= 2, le résultat est au programme et sera démontré.

3. Équations linéaires du premier ordre

3.1. Résolution de l’équation homogène

Théorème 3.1.1.

SoitA une primitive deasurI. Alors l’ensemble des solutions de l’équation homogène y⁰+ay= 0, noté S_H est S_H =ⁿt7→Ke^−A(t) K ∈K

o. Si de plus une condition initiale est fixée, alors la solution est unique. En particulier si y s’annule en un point, elle est identiquement nulle.

Démonstration.

Toute fonction de la formet7→Ke^−A(t) est une solution (c’est évident, il n’y a qu’à dériver).

Réciproquement, soity une solution. On pose z(t) = y(t)e^A(t) pourt∈I.z est dérivable surI et pour toutt, z⁰(t) =y⁰(t)e^A(t)+y(t)A⁰(t)e^A(t)= (y⁰(t)+a(t)y(t))e^A(t)= 0, donczest une constanteK.

Une condition initialey(t0) =y0étant donnée, elle est vérifiée si et seulement siKe^−A(t0)=y0, c’est-à-dire si et seulement siK =y0e^A(t0). Il y a alors une et une seule solution :t7→y0e^A(t0)−A(t).

Remarque 3.1.2.

On dit que l’ensemble des solutions a une struc- ture de droite vectorielle, de vecteur directeur t7→e^−A(t).

Exemple 3.1.3. 1. y⁰+y= 0 2. y⁰+ 1

√1−x²y= 0 avec y(1/2) = 1.

Corollaire 3.1.4.

Une solution qui s’annule en un point ne peut être que la fonction nulle.

Démonstration.

En effet elle est solution d’un problème de Cauchy de la forme y(t0) = 0. Or il existe une unique solution à ce problème et la fonction nulle est manifestement solution.

3.2. Résolution d’une équation avec second membre

Remarque 3.2.1.

On a déjà vu que si l’on connaissait une solution de l’équation ˜y avec second membre, alors on pou- vait construire toutes les solutions de l’équation avec second membre à partir de l’ensemble des solutions de l’équation homogène.

Dans le cas d’une équation d’ordre un, on dit que l’ensemble des solutions a une structure de droite affine, car l’ensemble des solutions est l’en- semble des ˜y+y pour y parcourant une droite vectorielle.

Théorème 3.2.2.

Soitaet b deux applications continues deI dans C, etAune primitive de a.

Alors le problème de Cauchy y⁰ +ay = b et y(t₀) =y₀ admet une unique solution :

t7→e^A(t0)−A(t)y0+e^−A(t) Z t

t0

e^A(u)b(u) du

Remarque 3.2.3.

L’unicité est aisée à démontrer : si on dispose de deux solutions de ce problème, leur différence est une solution de l’équation homogène du problème s’annulant ent₀, c’est donc l’application nulle.

On peut également assez directement montrer que l’application donnée est solution par calcul.

Nous donnons cependant ci-dessous une autre démonstration qui a l’avantage de permettre de re- trouver la formule. Cette méthode est à connaître

et s’appelle la méthode de la variation de la constante.

Démonstration.

NotonsE l’équationy⁰+ay=b,H l’équation homogène associée,S_E etS_H les ensembles de solutions respectifs de ces deux équations et S l’ensemble des solutions du problème de Cauchyy⁰+ay=bety(t0) =y0.

On sait quey_H :t7→e^−A(t) est une solution deH. Soity:I→Kune application dérivable.

y_H étant dérivable et ne s’annulant pas,ypeut s’écrire sous la formeC×y_H oùC :I→K est une application dérivable.

Soit alorst∈I. On a

y⁰+ay=C⁰y_H +Cy_H⁰ +aCy_H

=C⁰y_H +C y_H⁰ +ay_H

Ory_H est solution deH, doncy⁰_H+ay_H = 0. Doncyest solution deE si et seulement siC⁰y_H =b, c’est-à-dire si et seulement siC⁰ est l’applicationt7→e^A(t)b(t), c’est-à-dire si et seulement siC est une primitive det7→e^A(t)b(t).

Par ailleurs, on ay(t0) =C(t0)e^−A(t0), doncy(t0) =y0

si et seulement siC(t0) =y0e^A(t0).

Doncyest solution du problème de Cauchy si et seule- ment siCest la primitive det7→e^A(t)b(t) valanty0e^A(t0) ent0, c’est-à-dire si et seulement siC est l’application

t7→e^A(t0)y0+ Z t

t0

e^A(u)b(u) du

C’est-à-dire si et seulement siyest l’application t7→e^A(t0)−A(t)y0+e^−A(t)

Z t t0

e^A(u)b(u) du

3.3. Résolution pratique

• Schéma de résolution : 1. DéterminerI. 2. Résoudre (EH).

3. Trouver une solution dite particulière (mé- thode de variation de la constante, solution évidente, ou second membre d’une forme pa- ticulière).

4. S’occuper éventuellement des conditions ini- tiales.

5. Donner les solutions.

•méthode de la variation de la constante. Son ex- plication redonne la forme générale des solutions.

• Exemple : résoudre y⁰ + y = e^2x. Solution :1

3e^2x+Ke^−x.

•Cas particuliers de seconds membres pour une équation y⁰+ay où aest une constante : P(t)e^αt où P est un polynôme de degré n.

On cherche une solution particulière de la formeQ(t)e^αt avec Qde degrén siα6=−a, n+ 1 sinon. Exemple : résoudrey⁰+y=e^t. P(x) cos(αx) ou P(x) sin(αx) si K=R. On ré- sout d’abord l’équation y⁰+ay = P(t)e^iαt avec la méthode du point précédent (Qsera alors à coefficients complexes), et on prend les parties réelles et imaginaires (explications).

P(x) ch(αx) ou P(x) sh(αx) si K=R. On ré- sout d’abord l’équation y⁰ +ay = P(t)e^αt avec la méthode du premier point, on obtient une solutiony₊, on résout l’équation y⁰ + ay = P(t)e^−αt avec la méthode du premier point, on obtient une solutiony−,et on prend y++y−

2 pour ch et y+−y−

2 pour

sh, via le principe de superposition.

Exemple 3.3.1.

Résoudrey⁰+ 2y= cht−(1 +t)e^−2t. On trouve t7→ 1

6e^t+1

2e^−t−(1

2t²+t+K)e^−2t.

4. Équations différentielles du second ordre à coefficients constants

4.1. Définitions

Définition 4.1.1.

On appelleéquation différentielle linéaire du se- cond ordre toute équation de la formeay⁰⁰+by⁰+ cy = d, où (a, b, c, d) ∈ C(I,K)⁴ d’inconnue y : I → K deux fois dérivable sur I. d est ap- pelé lesecond membre de cette équation. On dit qu’elle est homogène si son second membre est

nul. On appelle équation homogène associée à ay⁰⁰+by⁰+cy=dl’équation ay⁰⁰+by⁰+cy= 0.

Dans la suite de ce chapitre,a, betc désignent des constantes de K, avec a6= 0.

4.2. Résolution d’une équation homogène On considère ici l’équation homogèneay⁰⁰+by⁰+ cy= 0.

Théorème 4.2.1.

On appellepolynôme caractéristiquede cette équa- tion le polynômeaX²+bX+c. On note ∆ son dis- criminant. On distingue deux grands cas, suivant que l’on veut les solutions complexes ou réelles de l’équation :

Solutions complexes a,b,c sont des complexes et on cherche les solutions à valeurs com- plexes.

(i) Si ∆ 6= 0 alors les solutions sont les applications de la forme t 7→ λe^r1t + µe^r2t pour (λ, µ)∈C², où r1 etr2 sont les racines du polynôme caractéristique.

(ii) Si ∆ = 0 alors les solutions sont les applications de la formet7→(λt+µ)e^rt pour (λ, µ) ∈ C², où r est la racine (double) du polynôme caractéristique.

Solutions réelles a, b et c sont des réels et on cherche les solutions à valeurs réelles.

(i) Si ∆>0 alors les solutions sont les ap- plications de la formet7→λe^r1t+µe^r2t pour (λ, µ) ∈ R², où r1 et r2 sont les racines (réelles) du polynôme caractéris- tique.

(ii) Si ∆ = 0 alors les solutions sont les ap- plications de la forme t 7→ (λt+µ)e^rt pour (λ, µ) ∈ R², où r est la racine (double réelle) du polynôme caractéris-

tique.

(iii) Si ∆<0 alors les deux racines du po- lynôme caractéristique sont des com- plexes conjugués de la forme r + iω et r −iω où r ∈ R et ω ∈ R^∗+. Alors les solutions de l’équation différentielle sont les applications de la forme t 7→

(λcos (ωt) +µsin (ωt))e^rtpour (λ, µ)∈ R². Ce sont aussi les applications de la forme t7→αcos (ωt+ϕ)e^rt où α∈R⁺ etϕ∈]−π, π].

De plus, si une condition initiale est imposée, les constantes sont fixées de manière unique.

Remarque 4.2.2.

Dans tous les cas, les solutions sont les combi- naisons linéaires de deux solutions linéairement indépendantes. On dit que cet ensemble a une structure de plan vectoriel.

Démonstration.

On note (EH) etSH.

Solutions complexes Soit r une racine du polynôme ca- ractéristique. Alors y : t 7→ e^rt est solution de (EH) car pour toutt∈I,ay⁰⁰(t) +by⁰(t) +cy(t) = (ar²+br+c)e^rt.

On sait que les racines du polynôme caractéristique sont les (−b+δ)/(2a) pour δ racine carrée de ∆.

Donc elles sont distinctes de−b/(2a) si et seulement si ∆6= 0.

Cherchons les solutions grâce à la méthode de la variation de la constante. Soitf:I→C. On écritf sous la formef(t) =K(t)e^rtoùK:I→Cest une application deux fois dérivable.

On calculef⁰=K⁰e^rt+Kre^rtetf⁰⁰= (K⁰⁰+ 2K⁰r+ Kr²)e^rt. Alorsfest solution si et seulement sia(K⁰⁰+ 2K⁰r+Kr²) +b(K⁰+Kr) +cK= 0 si et seulement sia(K⁰⁰+ 2K⁰r) +bK⁰= 0 carK(ar²+br+c) = 0 si et seulement siaK⁰⁰+K⁰(2ar+b) = 0 si et seulement siK⁰⁰+K⁰(2r+b/a) = 0. Distinguons deux cas :

∆6= 0ie r6=−b/(2a) : Alors−2r−b/a6= 0, donc K⁰ est de la formet7→k1e^{(−2r−b/a)t}. DoncK est de la formet7→ k2e^{(−2r−b/a)t}+k3, donc pour toutt ∈ I, on a f(t) = k2e^{(−r−b/a)t}+ k3e^rt=k2e^r0t+k3e^rt. Doncfest de la forme voulue, et réciproquement, toute fonction de cette forme est solution.

∆ = 0 : Alorsr = −b/(2a), donc (2r+b/a) = 0.

Donc K est de la forme t 7→ kt+k1, donc f est de la formet 7→ (kt+k1)e^rt. Récipro- quement, toute application de cette forme est

solution. On sait en effet quet7→ e^rt est so- lution, il suffit donc de vérifier que t7→ te^rt est également solution. Pour cela, posonsf : t 7→ te^rt. Soit t∈ I. Alors af⁰⁰(t) +bf⁰(t) + cf(t) = ar²t+ 2ar+brt+b+ct

e^rt = ar²+br+c

te^rt+ (2ar+b)e^rt= 0.

Solutions réelles Les cas ∆ > 0 et ∆ = 0 se traitent exactement comme dans le cas complexe. Étudions le cas ∆<0.

Remarquons tout d’abord que pour tout α ∈ R⁺, toutϕ∈]−π, π] et toutt∈I, on a

αcos (ωt+ϕ)e^rt

=αcosϕcos (ωt)e^rt−αsinϕsin (ωt)e^rt

Donc s : t 7→ αcos (ωt+ϕ)e^rt s’exprime comme combinaison linéaire à coefficients réels des1:t7→

e^rtcos(ωt) ets2:t7→e^rtsin(ωt).

Il suffit donc de vérifier ques1ets2sont des solutions à valeurs réelles pour vérifier quesl’est également.

Or d’après ce qui précède, c1 : t 7→ e^(r+iω)t et c2 :t 7→e^(r−iω)t sont des solutions à valeurs com- plexes de l’équation et toute combinaison linéaire de ces solutions est une solution ets1ets2sont des com- binaisons linéaires dec1etc2(en effets1= (c1+c2)/2 ets2= (c1−c2)/(2i)).

Doncs1 ets2 sont des solutions à valeurs complexes de l’équation. Ors1 ets2 sont évidemment à valeurs réelles donc ce sont des solutions à valeurs réelles de l’équation et toutes leurs combinaisons linéaires (à coefficients réels) le sont également, etségalement.

Réciproquement il suffit de montrer que toutes les solutions s’expriment sous la forme t 7→

αcos (ωt+ϕ)e^rt, où α ∈ R⁺ et ϕ ∈]−π, π] pour conclure.

Soitf une solution à valeurs réelles. Alors, comme c’est aussi une solution à valeurs complexes, elle s’écrit sous la forme

t7→λe^(r+iω)t+µe^(r−iω)t oùλetµsont des complexes.

Or f(0) est réel donc λ+µ ∈ R, donc Im(λ) =

−Im(µ). De même f(π/(2ω)) ∈ R, donc λie^r − µie^−r∈R, donc Re(λ) = Re(µ). Doncµ=λ. Notons λsous la formeρe^iϕ, oùρ∈R⁺ etϕ∈]−π, π].

On a alors, pour toutt∈I

f(t) =ρe^rte^iωt+iϕ+ρe^rte^{−iωt−iϕ}

= (2ρ) cos (ωt+ϕ)e^rt Doncf s’écrit bien sous la forme cherchée.

Exemple 4.2.3. 1. Solutions complexes et réelles dey⁰⁰+y⁰+ 2y= 0. On trouve

t7→λe⁻¹⁻ⁱ

√ 7

2 t+µe⁻¹⁺ⁱ

√ 7

2 t

=e^−12t

λe⁻ⁱ

√ 7 2 t+µeⁱ

√ 7 2 t

2. y⁰⁰+ 2y⁰ +y = 0, avec y(1) = 1, y⁰(1) = 0 alorsλ=e,µ= 0.

Théorème 4.2.4.

Le problème de Cauchy ay⁰⁰ +by⁰ +cy = 0 et y(t₀) =y₀ ety⁰(t₀) =y₀⁰, admet une unique solu- tion.

Démonstration.

(hors programme) Nous traitons ici le cas où on cherche une solution à valeurs complexes et où le polynôme ca- ractéristique a deux racines distinctesr1 etr2. Alors les solutions de l’équation différentielle considérées sont les applicationsy de la forme t7→ λe^r1t+µe^r2t où λet µ sont deux complexes. On a y(t0) = λe^r1t0 +µe^r2t0 et y⁰(t0) =λr1e^r10+µr2e^r2t0.

Pour montrer que le problème de Cauchy admet une unique solution, il suffit de montrer que le système

_λe^r1t₀

+µe^r2t0=y0

λr1e^r1t0+µr2e^r2t0=y⁰₀ d’inconnuesλetµadmet une unique solution.

On peut s’en assurer par le calcul, ou on peut simplement remarquer que pour que ce système admette une unique solution, il suffit que l’équation

λ e^r1t0

r1e^r1t0

+µ e^r2t0

r2e^r2t0

= y0

y₀⁰

admette une unique solution.

Pour cela, il suffit de montrer que les vecteurs e^r1t0

r1e^r1t0

et e^r2t0

r2e^r2t0

forment une base deR². Il suffit de vérifier qu’ils sont linéairement indépendants, ce qui est le cas puisque leur déterminant vaute^r1t0r2e^r2t0−r1e^r1t0e^r2t0, qui est égal à (r2−r1)e^(r1+r2)t0, qui est non nul puisque r16=r2.

4.3. Résolution d’une équation avec second membre