Exercice 2 Équation du second ordre Trouver une solution particulière de l’équationy”−2y0+y=excos(x)de trois façons différentes : 1

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Exercice 1 Un peu de pratique ...

1. Grâce à un changement de variable, intégrer (i.e. trouver les solutions)y⁰ = (8x+ 2y+ 1)². 2. Intégrer les équations différentielles suivantes :

(a) y⁰−_x^y =x, (b) y⁰+^2y_x =x³,

(c) y⁰= 2xy+y³,

(d) y⁰+ycos(x) = sin(x) cos(x).

3. Résoudre en tenant compte des conditions initiales : (a) xy⁰+y−e^x= 0avecy(a) =b,

(b) y⁰−ytan(x) =_cos(x)¹ avecy(0) = 0, (c) y⁰+y= cos(x)avecy(0) = 1/2, (d) y⁰−2y+x²= 0avecy(0) = 1/4.

Exercice 2 Équation du second ordre

Trouver une solution particulière de l’équationy”−2y⁰+y=e^xcos(x)de trois façons différentes : 1. En cherchanty sous la formey(x) =Ae^xsin(x) +Be^xcos(x);

2. En utilisant la méthode de variation de la constante ; 3. En résolvanty”−2y⁰+y=e^(1+i)x.

Exercice 3 Un peu de pratique ... (suite)

1. Résoudre en tenant compte des conditions initiales : (a) y”−5y⁰+ 4y= 0avecy(0) = 5et y⁰(0) = 8, (b) y” +π²y= 0avecy(0) =y(1) = 0,

(c) y”−2y⁰ =e^2x+x²−1avecy(0) = 1/8ety⁰(0) = 1.

2. Intégreryy” =y⁰²,2y”−y⁰−y= 4xe^2x,y”−2y⁰+y=xe^x,y” +y=xsin(x).

3. Intégrery”−2y⁰+y= sin(x) + sinh(x),y” +y= 2xcos(x) cos(2x),y⁽³⁾+y” +y⁰+y=xe^x. Exercice 4 Fonctions dey/x

1. Montrer qu’une équationy⁰=g(y/x)peut s’intégrer grâce à la substitutionv(x) =y(x)/x.

2. Utiliser cette méthode pour résoudrey⁰= 9x+ 2y 2x+y . 3. Intégrer4x²+ 3xy+y²+ (4y²+ 3xy+x²)y⁰= 0.

4. Intégrer1−3x−3y−(1 +x+y)y⁰ = 0.

Exercice 5 Tractrice

La tractrice est une courbe pour laquelle la distance, le long de la tangente, entre le point de contact de la tangente et l’axe des abscisses est constante égale àa(un réel strictement positif).

1. Montrer que (ou rappeler pourquoi) cette courbe vérifie l’équation différentiellep

a²−y²y⁰ =−y.

2. Montrer que cette équation à variables séparables peut s’intégrer en posanty =acos(t) et en la ramenant à une fraction rationnelle grâce aux formules de l’angle moitié.

3. Intégrer directement en posantv²=a²−y².

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Exercice 6 Hyperboles

Déterminer la courbe qui passe par le point(3; 2)et dont toute tangente coupe les axes de coordonnées en deux points dont le milieu est le point de tangence.

1. Grâce au théorème de Thalès, montrer que, si (x, y) est un point de tangence, alors la tangente coupe les axes de coordonnées en(2x,0) et(0; 2y), puis que la tangente admet−y/xpour pente.

2. Intégrer l’équation différentielley⁰=−y/xet conclure.

Exercice 7 Wronskien (*)

Pour une équation différentielle linéaire (à coefficients non constants) du second ordrey”+a(x)y⁰+b(x)y= 0, et pour deux solutions y1 et y2 de cette équation, on note w(x) le déterminant des deux vecteurs (y1(x), y⁰(x))et(y2(x), y₂⁰(x)).

1. Donner l’expression explicite dew(x).

2. Montrer quewsatisfait à une certaine équation différentielle linéaire du premier ordre.

3. En déduirew(x) =w(x0) exp

−Rx

x₀a(t)dt

pour tout(x0, x)dans l’intervalle d’étude.

4. En déduire quewest toujours nul ou jamais nul sur l’intervalle d’étude.

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