PSI* — 2019/2020 — Révisions par chapitres — Analyse no 30 Page 1
30. (X-ENS) Soit g une fonction de RdansR, continue et intégrable sur R.
Montrer que, si y est une solution bornée de(E) y′′+gy= 0, alors y′(x)x→+∞−→ 0.
Montrer que, si y1 et y2 sont deux solutions bornées de (E), alorsy1y2′ −y1′y2 = 0.
En déduire que (E) admet des solutions non bornées.
Solution : soity une solution bornée de(E) ; commeg est intégrable surR,gy=O(|g|) est également intégrale sur R. Or, y′ est de classe C1 (car y est deux fois dérivable et y′′ = −gy est continue par hypothèse). Donc, d’après le théorème fondamental de l’intégration,
∀x∈R y′(x) =y′(0) +
x 0
y′′=y′(0)−
x 0
gy −→
x→+∞y′(0)−
+∞
0
gy.
Je viens d’établir que y′ admet une limite finie en+∞que je noteℓ. Reste à prouver que ℓ= 0. . . Supposons un instantℓ >0. Par définition de la limite, je dispose deA >0 tel que
∀t≥A y′(t)≥ ℓ 2, d’où, toujours grâce au théorème fondamental de l’intégration,
∀x≥A y(x) =y(A) +
x A
y′(t) dt≥y(A) + (x−A)ℓ 2 −→
x→+∞+∞ car ℓ >0.
Cela contredit le caractère borné dey. De même,ℓ <0 donneraity(x) −→
x→+∞−∞. En conclusion y′(x)x→+∞−→ 0.
Je considère maintenant deux solutions bornéesy1,y2 et le wronskienW =y1y2′−y1′y2. W est de classe C1 et, du fait que y1 ety2 sont solutions de (E),
W′ =y1′y′2+y1·(−gy2)−(−gy1)·y2−y1′y2′ = 0.
La fonctionW est donc constante, mais d’après le premier résultat,y1′ ety2′ sont de limite nulle en+∞, tandis quey1 ety2 sont bornées ; par conséquentW est également de limite nulle en+∞. Comme c’est une constante, c’est la constante nulle !
y1y′2−y′1y2= 0.
Le théorème de Cauchy s’applique à cette équation différentielle linéaire homogène : g est continue et le coefficient de y′′ de s’annule pas. Il nous indique que l’ensembleS des solutions de(E) surR est un plan vectoriel et que l’application φ deS dans R2 qui à y associe y(0), y′(0) est un isomorphisme.
Or nous venons de démontrer que W = 0, donc en particulierW(0) = 0, c’est-à-dire y1(0)y2′ (0)−y′1(0)y2(0) = 0.
Autrement dit les vecteurs y1(0), y′1(0) et y2(0), y2′ (0) de R2 sont colinéaires. Il en résulte que leurs antécédents y1 et y2 par l’isomorphismeφ le sont également (l’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre).
En résumé, si deux solutions de(E)sont bornées, alors elles sont colinéaires.
Comme S est de dimension 2, (E) admet nécessairement des solutions non bornées.
Plus précisément, il est clair que l’ensemble des solutions bornées de (E) est un sous-espace vectoriel deS. Nous venons d’établir qu’il était de dimension 0 ou 1.
Par exemple, il est de dimension 1 lorsqueg= 0(Sétant alors l’ensemble des fonctions affines, contenant la droite des fonctions constantes, qui sont bornées !).
