2 On pose φ :x 7→ kxk2−dK(x)2.Montrer que φ(x

TD 4: Fonctions convexes

Exercice 1. (Extrait partiel 2015). SoitKun sous-ensemble compact deRⁿmuni de la métrique euclidienne canonique. L'objet de cet exercice est d'étudier en détail la diérentiabilité de la fonction distance à K, dénie par d_K : Rⁿ → R, d_K(x) = minp∈Kkx−pk. L'ensemble des projections de x surK est noté

Π_K(x) ={p∈K; kx−pk= d_K(x)}.

1 Donner un exemple deK⊆Rnon convexe etx∈Rtel que card ΠK(x)≥2.

2 On pose φ :x 7→ kxk²−d_K(x)².Montrer que φ(x) = maxp∈K2hx|pi − kpk², en déduire que la fonctionφ est convexe.

3 Soit x ∈ Rⁿ et p ∈ ΠK(x). Montrer que φ(x) = 2hx|pi − kpk², puis que pour v ∈ Rⁿ, φ(x+tv)−φ(x)≥2thv|pi, et enn φ⁺(x;v)≥max_p∈ΠK(x)2hv|pi.

4 Soitv₀∈Rⁿxé et y_i=x+t_iv₀ où t_i= 1/iet soit q_i ∈Π_K(y_i). (i) Montrer que φ⁺(x;v0)≤ _t¹

i(φ(yi)−φ(x))≤2hq_i|v₀i.

(ii) Quitte à extraire une sous-suite, on supposes que(q_i)converge vers un pointp₀∈Rⁿ. Montrer que p₀ ∈Π_K(x), puis queφ⁺(x;v₀)≤2hp₀|v₀i.

5 Déduire des deux questions précédentes queφ⁺(x;v) = maxp∈Π_K(x)2hv|pi,puis queφ est Gâteaux-diérentiable enx seulement siΠ_K(x) est un singleton.

6 En conclure que l'ensemble des points de Rⁿ ayant plus d'une projection sur K est de mesure nulle.

Exercice 2. SoitEun espace vectoriel normé. Pour cet exercice, on admettra quef :E→Rest convexe si et seulement si son épigraphe strict epi_sf :={(x, t)∈E×R|t > f(x)}est convexe.

Soientf :E →Retg:E→Rdeux fonctions admettant une même minorante ane. On dénit l'inf-convolution def etg, notéefg, de la façon suivante :

(fg)(x) = inf

y∈E(f(y) +g(x−y)).

1 Montrer quefg ne prend pas la valeur−∞. 2 Montrer queepi_s(fg) = epi_s(f)⊕epi_s(g).

3 En déduire que sif etg sont convexe alors fg est convexe.

4 Laτ-régularisée de Moreau-Yosida d'une fonction convexe minoréef :E→R est :

f_τ(x) := inf

u∈Ef(u) + 1

2τ kx−uk², τ >0.

(i) Montrer que sif est une fonction convexe minorée, fτ est convexe et partout nie.

(ii) Soit C ⊆E :=Rⁿ un ensemble convexe. Calculer les régularisées de Moreau-Yosida de la fonction indicatrice de C,ι_C(x) = 0 six∈C,ι_C(x) = +∞ sinon.

(iii) Calculer les régularisées de la fonction f :x∈R7→ |x|.

(iv) Montrer que siτ ≤τ⁰,fτ ≥f_τ⁰. En déduire que si f :E →Rest convexe minorée et continue en x, alors limτ→0f_τ(x) = sup_{τ >0}f_τ(x) =f(x).

(Indication : introduire u_τ ∈E tel quef(u_τ) +_2τ¹ ku_τ−xk² ≤f_τ(x) +τ et en déduire une borne explicite sur ku_τ−xk, puis le résultat.)

1

Exercice 3. SoientE un espace-vectoriel. On dit quef :E→R est quasi-convexe lorsque

∀x, y∈E,∀t∈]0,1[, f(tx+ (1−t)y)≤max{f(x), f(y)}. (1) 1 Montrer qu'une fonction convexe est quasi-convexe, mais que la réciproque est fausse.

2 Montrer quef est quasi-convexe si et seulement si

∀r∈R, {x∈E, f(x)≤r}est convexe. 3 Soitf quasi-convexe, etC⊆E un sous-ensemble convexe.

(i) Montrer que tout minimum local strict def (surC) est un minimum global.

(ii) Montrer que tout maximiseur local strict de f surC est un point extrémal de C, et se trouve donc sur sa frontière ∂C.

2