Alors il existe un unique point fixe pour Φ, c’est-`a-dire qu’il existe un et un seul x∈E tel que Φ(x) =x

Licence 3 de Math´ematiques, Universit´e de Nice Sophia-Antipolis, Equations diff´erentielles, Fiche 1

Outils de topologie et type d’´equation diff´erentielle.

Exercice 1 (Th´eor`eme de point fixe contractant dans un espace complet) Dans cet exercice, nous allons montrer les deux r´esultats suivants.

Th´eor`eme du point fixe contractant dans un complet Soit (E,k · k)un espace vectoriel norm´e complet. Soit Φ : E −→ E telle que kΦ(x)−Φ(y)k ≤kkx−yk ∀x, y ∈ E, o`u k ∈ [0,1[

(Φ est contractante). Alors il existe un unique point fixe pour Φ, c’est-`a-dire qu’il existe un et un seul x∈E tel que Φ(x) =x. De plus la suite d’it´er´es (xn)n∈N d´efinie par x0 ∈E et xn+1 = Φ(xn),

∀n ∈N converge dans E vers le point fixe x.

Corollaire, Point fixe it´er´ee contractante dans un complet Soit (E,k · k) un espace vectoriel norm´e complet. Soit Φ : E −→ E telle qu’il existe p ∈ N^∗ telle que l’it´er´ee Φ^p soit contractante : kΦ^p(x)−Φ^p(y)k ≤ kkx−yk ∀x, y ∈ E, o`u k ∈ [0,1[. Alors il existe un unique point fixe pour Φ, c’est-`a-dire qu’il existe un et un seul x∈E tel que Φ(x) = x.

1) Rappeler ce qu’est un espace norm´e complet.

2) Montrer l’unicit´e du point fixe pour le th´eor`eme.

3) Soitx₀ ∈E quelconque et soit la suite (x_n)n∈N d´efinie par x_n+1 = Φ(x_n) ,∀n ∈_N a) Montrer que pour toutn ∈_N,

kx_n+1−x_nk ≤kⁿkx₁−x₀k.

b) En d´eduire que pour tout p, q ∈N avecp > q, kx_p−x_qk ≤k^q 1

1−kkx₁−x₀k.

c) En d´eduire que (x_p)_p converge dans (E,k · k) et que la limite est un point fixe pour Φ.

4) Montrer le corollaire.

Exercice 2 (Espace complet)

Montrer que E =C([a, b],_K^N) munit de la normekyk_E = sup

t∈[a,b]

ky(t)k est complet.

Exercice 3 (Type d’´equation)

Dire si les ´equations diff´erentielles suivantes sont lin´eaires ou non lin´eaires, avec condition initiale ou de bord

a)y⁰⁰+ 4y⁰+ 3y² = 0, y(0) = 1, y⁰(0) = 1, b)y⁰⁰+ 2yy⁰ = 0, y(0) = 1, y(1) = 0, c)y⁰⁰−y⁰+ cos(y) = 0, y(0) = 1, y⁰(1) = 2,

d)y⁰⁰+ty⁰+y=te^t, y(0) = 1, y⁰(0) =−1.

Exercice 4 (Mise sous la forme Y⁰ =f(t, Y))

Mettre les ´equations diff´erentielles suivantes sous la forme d’une ´equation diff´erentielle Y⁰ = f(t, Y)

a)y⁰⁰+ (y⁰)² = cost, b)y⁰⁰+ 4ty⁰ + 2y= 0, c)y⁽³⁾−y⁰+ 2y⁰y² = 0, d)t²y⁰−ycost+y⁰⁰= 1, e)

( y₁⁰ = 2y₁+ty₂,

y₂⁰ = y₁−y₂, f)

( y⁰⁰₁ = y₁+ty⁰₂, y⁰⁰₂ = y₁y₂−y₁⁰y₂⁰.

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