U. Laval Dept. Math & Stat MAT-2910
Chapitre 2 1
On voudrait une relation entre le bassin et la dérivée de g. On peut caractériser les points fixes.
Un point fixe est attractif si 0 < |g’(x*)|<1 un point fixe est répulsif si |g’(x*)|> 1 un point fixe est indéterminé si |g’(x*)|=1 Comment choisir x
0garantissant la convergence?
Le bassin d’attraction d’un point fixe x* de g est l’ensemble des points x
0pour lesquels la méthode converge vers x*.
Idéalement, on connait le bassin d’attraction et on choisit un point de départ dans ce bassin. Mais comment définir le bassin?
Pour une fonction g dont la dérivée est continue près de x*
• si x* est un point fixe attractif alors on a un intervalle contenant x* dans le bassin d’attraction.
• si x* est un point fixe répulsif alors on ne peut rien dire sur le bassin d’attraction. Il peut être un singleton.
• si x* est un point fixe indéterminé, on ne peut rien dire.
x
0x
1x
2x
5g(x
0)
x
3x
4g(x)
Point répulsif g(x) y = x g(x
1)
g(x
2) g(x
3) g(x
4)
x
0> r x
0< r
Point attractif
g(x) x
0> r
x < r
y = x
p. 62-63
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Chapitre 2 3
Au minimum, on construit g garantissant la convergence ( )!
Comment aller le plus vite possible? Tout dépend de , deux points de vue
• Tenter d’améliorer l’ordre de convergence pour g donné
• Concevoir une fonction g avec un ordre de convergence élevée.
Accélération de la convergence d’une suite réelle.
Soit une suite x
nconvergeant vers r avec
Pour n assez grand
En isolant r on a
Alors la suite
converge plus vite que x
nvers r.
Extrapolation de Aitken
L’extrapolation s’applique dans d’autres situations, il suffit d’avoir un processus créant des suites de réels. C’est une formule simple et facile d’emploi.
Si la méthode de point fixe converge pour g partant x
0alors on peut lui appliquer l’extrapolation de Aitken.
On crée une suite d’extrapolation à partir de la suite provenant de la méthode du point fixe, on obtient la méthode de Aitken qui accélère la convergence.
, retour à 2
1.
2.
3.
4.
donné,
5
Mais il y a mieux!. On intègre l’extrapolation dans la méthode de point fixe: c’est la méthode de Steffenson:
Remarques
• La méthode de Steffenson est d’ordre 2 si le point fixe est d’ordre 1.
• La méthode peut converger pour des points répulsifs de g! Ils sont attractifs pour la fonction h!
• Convergence d’ordre 2 dans la plupart des conditions (étudier h en fonction de g).
1. donné, n=0
2.
3.
4. retour à 2.
C’est un point fixe sur la fonction
Méthode des points fixes
Fonction : -exp(x) Arguments initiaux :
Nombre maximal d'iterations : nmax = 100 Critère d'arrêt : epsilon = 1.000000E-06 Estimation initiale : x_0 = 0.000000E+00
Iter. x_i g(x_i) E_i E_i+1/E_i E_i+1/E_i2
0 0.0000000000E+00 -1.0000000000E+00 --- --- --- 1 -1.0000000000E+00 -3.6787944117E-01 1.0000000000E+00 --- ---
2 -3.6787944117E-01 -6.9220062756E-01 6.3212055883E-01 6.3212055883E-01 6.3212055883E-01 3 -6.9220062756E-01 -5.0047350056E-01 3.2432118638E-01 5.1306856240E-01 8.1166251475E-01 4 -5.0047350056E-01 -6.0624353509E-01 1.9172712699E-01 5.9116436126E-01 1.8227744165E+00 5 -6.0624353509E-01 -5.4539578598E-01 1.0577003452E-01 5.5166963685E-01 2.8773687141E+00 …
24 -5.6714248340E-01 -5.6714374810E-01 2.2299452629E-06 5.6714359835E-01 1.4424204329E+05 25 -5.6714374810E-01 -5.6714303083E-01 1.2646981044E-06 5.6714311575E-01 2.5433050990E+05 26 -5.6714303083E-01 -5.6714343763E-01 7.1726516959E-07 5.6714338950E-01 4.4844171707E+05 27 -5.6714343763E-01 -5.6714320692E-01 4.0679208813E-07 5.6714323429E-01 7.9070232089E+05
Approximation finale du point fixe: r = -5.6714343763E-01 ---
-1 < r = g(r) = g
(1)(r) < 0 27 évaluations de g(x) Convergence linéaire
Taux de convergence 0.567
0.5671… ∞
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Chapitre 2 7
Méthode de Aitken
Fonction : -exp(x) Arguments initiaux :
Nombre maximal d'iterations : nmax = 100 Critère d'arrêt : epsilon = 1.000000E-06 Estimation initiale : x_0 = 0.000000E+00
Iter. x_i g(x_i) E_i+1/E_i E_i+1/E_i2 1 -5.822261E-001 -5.586534E-001
2 -5.717058E-001 -5.645616E-001
3 -5.686388E-001 -5.662958E-001 2.915271E-001 2.771084E+001 4 -5.676170E-001 -5.668747E-001 3.331672E-001 1.086310E+002 5 -5.672968E-001 -5.670563E-001 3.134066E-001 3.067168E+002 6 -5.671924E-001 -5.671154E-001 3.257677E-001 1.017253E+003 7 -5.671591E-001 -5.671343E-001 3.191390E-001 3.059097E+003 8 -5.671484E-001 -5.671404E-001 3.230189E-001 9.701999E+003 9 -5.671449E-001 -5.671424E-001 3.208576E-001 2.983443E+004 10 -5.671438E-001 -5.671430E-001 3.220958E-001 9.334225E+004 11 -5.671435E-001 -5.671432E-001 3.213976E-001 2.891683E+005
Approximation finale du point fixe: r = -5.6714334490E-01 ---
12 évaluations de g(x) Convergence linéaire
Taux de convergence 0.32
0.32… ∞
Le taux de
convergence est
presque la moitié
de celui de la
méthode du
point fixe: on va
presque 2 fois
plus vite.
Méthode de Steffenson
Fonction : -exp(x) Arguments initiaux :
Nombre maximal d'iterations : nmax = 100 Critère d'arrêt : epsilon = 1.000000E-06 Estimation initiale : x_0 = 0.000000E+00
Iter. x_i g(x_i) E_i E_i+1/E_i E_i+1/E_i2
0 0.0000000000E+00 -1.0000000000E+00 --- --- --- 1 -6.1269983678E-01 -5.4188588891E-01 6.1269983678E-01 --- ---
2 -5.6735085770E-01 -5.6702558223E-01 4.5348979077E-02 7.4015001074E-02 1.2080140491E-01 3 -5.6714329483E-01 -5.6714328790E-01 2.0756287217E-04 4.5770131190E-03 1.0092869150E-01 4 -5.6714329041E-01 -5.6714329041E-01 4.4209308436E-09 2.1299237177E-05 1.0261583372E-01
Approximation finale du point fixe: r = -5.6714329041E-01 ---
8 évaluations de g(x)
Convergence quadratique
0.1…
0
Une autre façon de vérifier l’ordre 2:
l’erreur diminue de manière quadratrique
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Chapitre 2 9
Methode de Steffenson: Fonction : x*x x_0 = 5.000000E-01 (pt fixe quadratique) Iter. x_i g(x_i) E_i+1/E_i E_i+1/E_i2 0 5.0000000000E-01 2.5000000000E-01 --- ---
1 -5.0000000000E-01 2.5000000000E-01 --- ---
2 1.0000000000E-01 1.0000000000E-02 6.0000000000E-01 6.0000000000E-01 3 -1.1235955056E-03 1.2624668602E-06 1.6853932584E-01 2.8089887640E-01 4 1.4169118433E-09 2.0076391716E-18 1.1111125123E-02 1.0987668177E-01 5 -2.0679515314E-25 4.2764235361E-50 1.2610499503E-06 1.1223330404E-03 6 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00 1.4594779070E-16 1.0300414340E-07
Methode de Steffenson: Fonction : x*x x_0 = 7.000000E-01 (pt fixe indéterminé) Iter. x_i g(x_i) E_i+1/E_i E_i+1/E_i2 0 7.0000000000E-01 4.9000000000E-01 --- --- 1 1.8052631579E+00 3.2589750693E+00 --- ---
2 1.4475794223E+00 2.0954861839E+00 3.2361861790E-01 2.9279779715E-01 3 1.1928055148E+00 1.4227849961E+00 7.1228820935E-01 1.9913911048E+00 4 1.0504554083E+00 1.1034565648E+00 5.5873110360E-01 2.1930468038E+00 5 1.0045236927E+00 1.0090678493E+00 3.2266723680E-01 2.2667158085E+00 6 1.0000404701E+00 1.0000809419E+00 9.7606252539E-02 2.1250295447E+00 7 1.0000000033E+00 1.0000000066E+00 9.0262832608E-03 2.0133470975E+00 8 1.0000000000E+00 1.0000000000E+00 8.0938587996E-05 2.0001214159E+00
Conv.
cubique
Conv.
quadratique 0 0
2
0
Plutôt que d’accélérer un point fixe pour g arbitraire On veut garantir la convergence à l’ordre 2 (ou plus) en s’appuyant sur f.
Le point de départ: la fonction f et une racine r. S’appuyant sur Taylor:
Pour x
0donné
En supposant que est près de , si on peut ignorer les termes d’ordres supérieurs et on a
On a approximé la racine par le zéro de la droite
On peut recommencer le processus en remplaçant x par cette nouvelle valeur…
Construction d’un g garantissant l’ordre 2
11 11
Newton: on construit une suite d’approximation de r à partir de racines de droites tangentes à la fonction:
En utilisant l’approche
graphique, on voit qu’il n’est pas nécessaire que
On a les itérations
Correspond à une méthode de point fixe sur
Si est 2 fois dérivable autour de et
• pour des suffisamment près de :
•
En résumé, si est deux fois dérivable avec et si est assez près de la racine , la méthode de Newton sera bien définie et dans le pire des cas, convergente à l’ordre 2.
• convergence quadratique et Méthode de Newton
• donné
•
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Chapitre 2 13
Méthode de Newton
Fonction : exp(x)+x Dérivée de la fonction : exp(x)+1 Arguments initiaux :
Nombre maximal d'itérations : nmax = 100 Critère d'arrêt : epsilon = 1.000000E-6 Estimation initiale : x_0 = 0.000000E+00
Iter. x_i f(x_i) E_i E_i+1/E_i E_i+1/E_i2 0 0.0000000000E+00 1.0000000000E+00 --- --- --- 1 -5.0000000000E-01 1.0653065971E-01 5.0000000000E-01 --- ---
2 -5.6631100320E-01 1.3045098060E-03 6.6311003197E-02 1.3262200639E-01 2.6524401279E-01 3 -5.6714316503E-01 1.9648047156E-07 8.3216183764E-04 1.2549377894E-02 1.8925030973E-01 4 -5.6714329041E-01 4.5519144010E-15 1.2537491867E-07 1.5066170184E-04 1.8104855934E-01
5 -5.6714329041E-01 1.1102230246E-16 2.8865798640E-15 2.3023583143E-08 1.8363787101E-01 6 -5.6714329041E-01 -1.1102230246E-16 1.1102230246E-16 3.8461538462E-02 1.3324259253E+13 7 -5.6714329041E-01 1.1102230246E-16 1.1102230246E-16 1.0000000000E+00 9.0071992547E+15 8 -5.6714329041E-01 -1.1102230246E-16 1.1102230246E-16 1.0000000000E+00 9.0071992547E+15 9 -5.6714329041E-01 1.1102230246E-16 1.1102230246E-16 1.0000000000E+00 9.0071992547E+15 10 -5.6714329041E-01 -1.1102230246E-16 1.1102230246E-16 1.0000000000E+00 9.0071992547E+15
Et si on serre trop la vis, Tolérance = 1E-16 ?
Conv.
Ordre 2
Méthode de Newton: en partant trop loin Fonction : exp(x)+x
Dérivée de la fonction : 1+exp(x) Arguments initiaux :
Nombre maximal d'itérations : nmax = 100 Critère d'arrêt : epsilon = 1.000000E-06 Estimation initiale : x_0 = 1.000000E+01
Iter. x_i f(x_i) E_i E_i+1/E_i E_i+1/E_i2
0 1.0000000000E+01 2.2036465795E+04 --- --- --- 1 8.9995914192E+00 8.1087734306E+03 1.0004085808E+00 --- ---
2 7.9986039096E+00 2.9847978080E+03 1.0009875095E+00 1.0005786923E+00 1.0001700420E+00 3 6.9962536491E+00 1.0995287256E+03 1.0023502605E+00 1.0013614066E+00 1.0003735282E+00 4 5.9907702695E+00 4.0571315562E+02 1.0054833796E+00 1.0031257727E+00 1.0007736938E+00 5 4.9783158361E+00 1.5020790098E+02 1.0124544334E+00 1.0069330373E+00 1.0014417521E+00 6 3.9511098789E+00 5.5944150681E+01 1.0272059572E+00 1.0145700619E+00 1.0020896037E+00 7 2.8954212482E+00 2.0986541936E+01 1.0556886307E+00 1.0277282986E+00 1.0005085070E+00 8 1.7961383785E+00 7.8224694425E+00 1.0992828697E+00 1.0412945993E+00 9.8636526818E-01 9 6.8283054096E-01 2.6623033297E+00 1.1133078375E+00 1.0127582883E+00 9.2128997567E-01 10 -2.1071792163E-01 5.9928459722E-01 8.9354846259E-01 8.0260681950E-01 7.2092083830E-01 11 -5.4181392342E-01 3.9878226387E-02 3.3109600179E-01 3.7054062052E-01 4.1468441392E-01 12 -5.6702630523E-01 1.8333642211E-04 2.5212381810E-02 7.6148252089E-02 2.2998843742E-01 13 -5.6714328793E-01 3.8809674363E-09 1.1698270432E-04 4.6398910345E-03 1.8403223739E-01 14 -5.6714329041E-01 1.1102230246E-16 2.4764598150E-09 2.1169452608E-05 1.8096224336E-01 Approximation finale de la racine: r = -5.6714329041E-01
