Indiquer, en le justifiant, si la suite converge ou non

Partiel d’analyse num´erique

Aucun document n’est autoris´e. L’usage de la calculatrice est interdit. La dur´ee de l’examen est de 2h. Les questions marqu´ees d’une ´etoile sont plus difficiles.

Exercice 1

1) Rappeler comment calculer la solution de A x = y par la m´ethode it´er´ee de Gauss-Seidel.

2) On consid`ere les matrices

A=

1 1 1 0 2 0 1 0 2

D=

1 0 0 0 2 0 0 0 2 .

Et pour tout vecteur y on d´efinit la suite de vecteur x_k par r´ecurrence avec x_k+1=D⁻¹y+D⁻¹(D−A)x_k.

Indiquer, en le justifiant, si la suite converge ou non.

Exercice 2 On d´efinit la matrice

A=

1 1 1 2 4 4 1 4 2 .

1) On pose y = (0 −2 −5). R´esoudre le syst`eme A x = y par la m´ethode du pivot de Gauss.

2) Indiquer si A peut se d´ecomposer sous forme L U et si c’est le cas, donner la d´ecomposition.

Exercice 3 On consid`ere une suite de vecteurs d´efinis par r´ecurrence

x_k+1 =B x_k+z, x₀ = 0.

1) On suppose dans cette question que la suite converge en un nombre fini d’it´erations, c’est-`a-dire qu’il existe l tel que x_l =B x_l+z.

a) Si l= 1 montrer que cela implique que z ∈ KerB. b) Prouver par r´ecurrence quex_k+1 =Pk

m=0B^mz, avec la convention B⁰z =z.

c) En d´eduire que si l ≥1 alors z ∈KerB^l.

2) Prouver que si la suite converge en un nombre fini d’it´erations quel que soit z alors la matrice B est nilpotente.

3)^∗ Prouver que si la suite converge plus vite qu’exponentiellement, c’est-`a-dire que pour toutretk, il existe m > k tqkx_m−xk< r^m alors la suite converge en un nombre fini d’it´erations.

1

2

Exercice 4 On d´esire appliquer la m´ethode du pivot `a une matriceAtridiagonale soit

A=

a₁ c₁ 0 0 0 . . . 0 b₁ a₂ c₂ 0 0 . . . 0 0 b₂ a₃ c₃ 0 . . . 0 . . . .

0 . . . 0 bn−1 a_n cn−1

,

ou A_ij =a_i si i=j, A_ij =b_j si i=j+ 1, A_ij =c_i si j =i+ 1 etA_ij = 0 sinon.

1) Calculer le coˆut de la m´ethode sur une matrice de ce type.

2)^∗Prouver par r´ecurrence qu’apr`es l’´etapekde la m´ethode du pivot (´elimination sur les k premi`eres colonnes) on obtient la matrice

A^k_ij =A_ij sii≥k+ 2 ou si j > i, A^k_ij =d_i sii=j et i≤k+ 1, A^k_ij = 0 sinon.

o`u la suite d_i est d´efinie par d₁ =a₁ et d_i+1 =a_i+1−c_i∗b_i/d_i.

3) On suppose que a₁ = 1, a_i = 2 pour i > 1, et b_j = λ et c_j = λ⁻¹ pour tout j ≤n−1,λ ´etant un r´eel non nul donn´e. Montrer queA est d´ecomposable sous forme L U et donner son d´eterminant.