TD13 Analyse Num´erique et Optimisation H.Haddar, O.Pantz Minimisation avec contraintes
Exercice 1. Valeurs propres du Laplacien On ´etudie la premi`ere valeur propre du Laplacien dans un domaine born´e Ω. Pour cela, on introduit le probl`eme de minimisation surK ={v ∈H01(Ω) : R
Ωv2dx= 1}
minv∈K
J(v) =
Z
Ω
|∇v|2dx
.
1.1 - Montrer que toute suite minimisante deJ sur K admet une sous suite qui converge fortement dans H01(Ω). En d´eduire que le probl`eme de minimisation admet au moins une solution.
1.2 - Ecrire l’´´ equation d’Euler v´erifi´ee par une solu- tionudu probl`eme de minimisation. En d´eduire que uest bien un vecteur propre du Laplacien associ´e `a la plus petite valeur propre.
Exercice 2. Qualification de contraintes 2.1 - Les contraintes : −x1 ≤ 0, −x2 ≤ 0, −(1−x1)3+x2 ≤ 0 sont-elles qualifi´ees (au sens de la d´efinition du cours) aux points (1,0) et (0,1) (faire un dessin) ?
2.2 - Exhiber une fonctionJ d´erivable, dont le mi- nimum sur l’ensemble K d´efini par les contraintes pr´ec´edentes ne v´erifie pas la condition d’optimalit´e.
Exercice 3. Equilibre statistique´
On consid`ere un syst`eme de N particules (quan- tiques) et d’´energie totaleE en ´equilibre thermody- namique sur pniveaux d’´energieE1 < E2. . . < Ep. Nous supposons N grand par rapport `a p. Cela per- met de consid´ererNr´eel>0 avec une bonne approxi- mation. On sait que la r´epartition entre les niveaux d’´energie est donn´ee par le minimum de l’entropie
(math´ematique) : si on note xi le nombre de parti- cules d’´energieEi, l’´equilibre est donc donn´e par
min
xi ≥0, i= 1, . . . , p x1+. . .+xp=N x1E1+. . .+xpEp=E
H(x) =
p
X
i=1
xilog(xi).
On suppose de plus que
N E1< E < N Ep.
3.1 - Monter que la fonction H est strictement convexe sur [0,+∞[p.
3.2 - Montrer que ce probl`eme admet une unique solution ¯xdans [0,+∞[p.
3.3 - On suppose que le point de minimum x ap- partient `a ]0,+∞[p. D´eterminer les conditions d’op- timalit´e v´erifi´ees par ¯x.
3.4 - Montrer que si ¯y v´erifie les conditions d’opti- malit´e de la question pr´ec´edente, ¯yi est de la forme aexp(−bEi) o`u a et b sont des r´eels solutions d’un syst`eme que l’on d´eterminera.
3.5 - Montrer que le syst`eme d´efinissanta etb ad- met une solution unique.
3.6 - Montrer (`a l’aide du Th´eor`eme de Kuhn et Tucker) que d`es queε >0 est assez petit,ymaximise H sur [ε,+∞[p. En d´eduire quex=y.
Exercice 4. M´elange gazeux
L’´etat d’´equilibre d’un m´elange gazeux comportant xj moles de mol´eculesj(j= 1, . . . , n) est caract´eris´e par le minimum de l’enthalpie libre de Gibbs
G(x) =
n
X
j=1
cjxj+
n
X
j=1
xjlog (xj/s)
1
o`u lescj sont des coefficients donn´es ets=Pn j=1xj. De plus lesxj doivent respecter les contraintes
xj≥0,
n
X
j=1
aijxj =li
pour touti, 1≤i≤m, o`u l’indiceicorrespond aux atomes, m est le nombre de sortes d’atomes, o`u aij est le nombre d’atomei dans la mol´ecule j et li >0 est la quantit´e d’atomei dans le m´elange (constante donn´ee). Ainsi aij ≥0 et, pour toutj il existe i tel queaij>0.
On note D l’ensemble d´efini par les contraintes sur les xj et K = {x ∈ Rn|xj ≥ 0,∀j} le cˆone positif.
Ainsi on consid`ere le probl`eme (P) : min
x∈DG(x).
4.1 - Montrer que D est born´e, que G est bien d´efinie sur K et que (P) admet au moins une so- lution.
4.2 - Montrer queGest convexe surK, c’est `a dire que pour x, y appartenant `a K, pour toutθ∈[0,1], on a
G(θx+ (1−θ)y)≤θG(x) + (1−θ)G(y).
Dans un premier temps, on pourra ´etablir ce r´esultat pourx6= 0 ety6= 0.
4.3 - On suppose que ¯xappartient `a l’int´erieur de K. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que ¯xsoit solution de (P).
Exercice 5. In´egalit´e de Kantorovitch
Soit A une matrice carr´ee n × n, sym´etrique d´efinie positive dont les valeurs propres sont {λ1≤λ2≤...≤λn}. On d´esignera par {e1, e2, ..., en} une base orthonorm´ee de vecteurs propres (Aek =λkek). On souhaite montrer que
x∈Rminn
(Ax, x)(A−1x, x)
||x||4 = 1 (1) max
x∈Rn
(Ax, x)(A−1x, x)
||x||4 = 1 4
rλ1 λn
+ rλn
λ1
!2 (2)
5.1 - Calculer le gradient de la fonction J de Rn dansRd´efinie par :
J(x) = (Ax, x)(A−1x, x)
5.2 - Montrer, en se restreignant au plan {e1, en}, que J n’est pas convexe d`es que λλn
1 est assez grand.
(Indication : on ´evalueraJ ene1, en et (e1+en)/2) 5.3 - Transformer les probl`emes (1) et (2) sous forme de probl`emes d’optimisation avec contrainte d’´egalit´e, not´es (1)’ et (2)’ pos´es sur la boule unit´e.
Ecrire les conditions n´´ ecessaires d’optimalit´e as- soci´ees `a ces deux probl`emes.
5.4 - On note {µ1 < µ2 < ... < µm}, m ≤ n, les valeurs propres distinctes de A(µ1=λ1, µm=λn).
On note Ej le sous-espace propre associ´e `a la valeur propre µj. Montrer que si x satisfait les conditions d’optimalit´e, il a une projection non nulle sur au plus deux des espaces Ej.
5.5 - D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la r´esolution des probl`emes (1)’ et (2)’ se ram`ene `a l’´etude d’un nombre fini de cas. En d´eduire les r´esultats (1) et (2).
Montrer que la solution de (1)’ n’est jamais unique et que celle du probl`eme (2)’ est unique au signe pr`es si et seulement si les deux valeurs propresλ1etλn sont simples.
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