MPSI 2 Semaine 18
Exercice 1 Nombres réels
1. Soitaetb deux réels tels que, pour tout réelxtel quex > b, on a a≤x. Montrera≤b.
2. Si la suite (un)n∈N a une limite `telle que, pour tout réel xtel que x > b, on a un ≤xà partir d’un certain rang, montrer`≤b.
3. Résoudre dansRl’équation p√
2−x2+ 1 =x.
4. Pour adansR+, donner l’ensemble des solutions de l’inéquationx−1 2 ≤
r
x+a2−3 4.
5. Montrer que les sous-ensembles suivants de Rsont non vides et majorés, donner leur borne supé- rieure et indiquer quand ils ont un plus grand élément.
[0; 1]∩Q, [
n∈N∗
− 1
2n;− 1 2n+ 1
{xy|(x, y)∈R2,||(x, y)||1≤1}, {xy|(x, y)∈R2,||(x, y)||1<1}
avec||(x, y)||1=|x|+|y|.
6. Soit A et B deux parties non vides de Rtelles que B ⊂A et A est majoré. Montrer que B est majoré et qu’on a supB≤supA.
7. SoitA etB deux parties non vides bornées deR. Montrer queA∪B est borné et sup(A∪B) = sup(supA,supB)et inf(A∪B) = inf(infA,infB).
8. Avec les hypothèses précédentes, montrer queA∩B est borné etsup(infA,infB)≤inf(A∩B)≤ sup(A∩B)≤inf(supA,supB). Donner des exemples où les inégalités sont strictes.
9. On rappelle que siAet B sont des sous-ensembles d’un groupe additif, on note A+B l’ensemble des éléments de la forme a+b avec (a, b)∈A×B. Montrer que siA et B sont des parties non vides majorées deR, on asup(A+B) = sup(A) + sup(B). Peut-on donner un analogue pourAB? 10. Soit(xn)n∈Net(xn)n∈Ndeux suites majorées de réels. Montrersup
n∈N
(xn+yn)≤ sup
n∈N
(xn)+ sup
n∈N
(yn) et donner un exemple où l’inégalité est stricte.
11. Soitf etgdeux fonctions croissantes de[0; 1]dans lui-même. On supposegsurjective,g(0)< f(0) et g(1)> f(1). Montrer que {x∈[0; 1]|g(x)< f(x)} admet une borne supérieureαet montrer g(α)≥f(α). En déduire que les graphes def et gont un point commun.
Exercice 2 Suites
1. On considère, pour α réel, la suite récurrente(un)n∈N définie par un+2 = 2αun+1−un, u0 = 0 et u1 = 1. Montrer que, si α = cos(θ) avec 0 < θ < π, on a un = sin(nθ)
sin(θ) et déduire qu’on a unun+1≥0si et seulement siα≥1ouαest de la formecos(π/m)avecmentier supérieur à 2.
2. Soit (un)n∈N une suite réelle. Montrer que si les suites de termes pairs, impairs et multiples de trois sont toutes les trois convergentes, elles ont même limite et que donc la suite est convergente.
3. Montrer, pourx∈R×+, 1+xx <ln(1 +x)< xet en déduire 1
2 +1
3+· · ·+1
k <lnk <1 +1
2 +· · ·+ 1 n−1
puis que la suite de terme général Hn−ln(n)est convergente ((Hn)est la série harmonique). Sa limite se noteγ et est appelée constante d’Euler. On ne sait pas si c’est un nombre rationnel.
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4. On considère la suite récurrente (un)n∈N associée au polynôme P = X2 −2X + 2. Tracer son graphe, montrer que u1 appartient à [1; +∞[ et que les intervalles [1; 2] et [2; +∞[ sont stables par P. En considérantP −X montrer que la suite récurrente est convergente si et seulement si u0∈[0; 2]et donner alors sa limite.
5. On considère la suite récurrente (un)n∈N associée à la fonction f de [0; 2] dans R définie par f(x) =√
2−x et de premier terme nul. Montrer que la suite est à valeurs dans[0;√
2]puis, en étudiantg=f◦f, montrer que les suites de termes pairs et impairs sont convergentes. En étudiant les points fixes de g, montrer que la suite récurrente est convergente.
6. Soit(un)n∈Ndéfinie paru1= 1etun =√
n+un−1, i.e.un = r
n+ q
n−1 +p
n−2 +· · ·+√ 1.
Montrer, pour tout entiern,√
n≤un≤√
2net en déduireun ∼√
n. Montrer que(un−√ n)n∈N est une suite convergente vers1/2.
7. Reprendre l’étude précédente avecu1= 1 etun=√4
n+un−1.
8. Soit, pournentier naturel,fnla fonction de[0; 1[dansRdéfinie parfn(x) = 1
(1−x)2−(2x+n).
Montrer qu’elle a un seul zéro, que l’on notera un. Montrer que(fn(x))n∈N est décroissante, pour toutxdans[0; 1[, et quefn+1(un)est strictement négatif. En déduire que(un)n∈Nest convergente, puis en calculantfn en1−1/√
n, donner sa limite.
Exercice 3 Transformations
1. Étudier la limite de la suite de terme général
n
Y
k=1
1 + k
n2
.
2. Soit(un)n∈N une suite réelle (ou complexe) convergente de limite`. Soitvnla suite donnée par sa moyennevn =u0+u1+· · ·+un
n+ 1 . Montrer que, pour tous entiersnet n0avecn > n0, on a vn−`= n0+ 1
n+ 1(vn0−`) +(un0+1−`) +· · ·+ (un−`) n+ 1
et en déduire que (vn)n∈N converge. Donner un exemple pour lequel (vn)n∈N converge mais pas (un)n∈N. On dit alors que(un)n∈N converge au sens de Cesàro.
3. Soit(un)n∈N et(vn)n∈N deux suites réelles (ou complexes) convergentes de limites`et mrespec- tivement. Montrer que la suite de terme généralwn =u0vn+u1vn−1+· · ·+unv0
n+ 1 est convergente de limite `m.
4. Soitaetbdeux réels tels que0< a < b. On noteraa=bcos(α)avecαdans]0;π/2[. Montrer que les suites définies paru0=a,v0=b,un+1= 12(un+vn)etvn+1=√
un+1vn admettent une limite commune, que l’on exprimera en fonction deα.
5. Étudier de même les suites définies par u0=b,v0=a,un+1 =12(un+vn)et vn+1=√
unvn sans chercher à exprimer leur limite commune.
6. Soit (un)n∈N une suite récurrente définie par u0 = 5et un+1 =un+u−1n . En utilisantvn =u2n montrer45< u1000<45,1.
7. Soit(un)n∈N une suite récurrente définie parun+1 = un
3−2un. En considérant les points fixes de l’applicationx7→x/(3−2x), utiliser une suitevn définie parvn=un−α
un−β pour étudierun. 8. Étudier de même (ou presque) la suite récurrente définie parun+1= 4un−1
un
.
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