E115. Un impair, deux pairs, trois impairs...
On considère la suite strictement croissante des entiers naturels qui commence par le premier nombre impair (1) puis se poursuit avec les deux nombres pairs qui suivent 1 : 2 et 4 puis avec les trois nombres impairs qui suivent 4 : 5,7 et 9, puis avec les quatre nombres pairs qui suivent 9 : 10, 12, 14 et 16 etc..
Trouver le 2009ième terme puis donner la formule exprimant le n-ième terme en fonction de n.
Solution de Patrick Gordon
La règle de fomation de la suite change à chaque valeur de n de la forme k(k+1)/2 (somme des k premiers nombres entiers).
Il est donc naturel de situer n par rapport aux termes de cette forme.
Posons n = k(k+1)/2 + r (avec 0 ≤ r < k+1)
Pour r = 0, on montre aisément par récurrence que un = k².
Pour n quelconque, la règle de formation de la suite nous donne : un = n² + 1 (pour le terme r
= 1) + 2 pour chacun des (r – 1) termes suivants.
Donc : un = k² + 2r – 1.
Exemple : n = 8 est compris entre 3×(3+1)/2 = 6 et 4×(4+1)/2 = 10 donc k = 3 et r = 2. On a bien u8 = 3² + 2×2 – 1 = 12.
Quant à n = 2009, ce nombre est compris entre 62×63/2 = 1953 et 63×64/2 = 2016, avec un écart de 56 par rapport au premier.
On a donc k = 62 et r = 56 et par conséquent : u2009 = 62² + 2×56 – 1 = 3955.
