Problème A563 – Solution de Jean Drabbe
Montrons que les nombres narcissiques sont les nombres impairs.
1 – Tout nombre naturel impair est narcissique.
Vérification – Soit n = 2 • k + 1 un nombre naturel impair. On a : 1^n + 2^n + ... + (n – 1)^n
= (1^n + (n – 1)^n) + (2^n + (n – 2)^n ) + ... + (k^n + (k + 1)^n)
Le narcissisme de n résulte de la divisibilité par n de chacune des sommes déterminées par les parenthèses.
2 – Aucun nombre pair n'est narcissique.
Rappelons que
pour tout naturel k non nul , pour tout naturel impair r , r^(2^k) ≡ 1 mod 2^k (ceci est une conséquence d'une généralisation (due à Euler) du « petit » théorème de Fermat).
Soit n = (2^k) • r un nombre naturel avec k > 0 et r impair. Il est clair que pour tout naturel pair u , u^n est divisible par 2^k .
Il suffit donc de vérifier que la somme
1^n + 3^n + 5^n + ... + ((2^k) • r – 1)^n n'est pas divisible par 2^k . Cette somme contient (2^k • r) / 2 termes. Par le résultat rappelé ci-dessus, elle ne peut être divisible par 2^k .
