Problème A540 – Note de Jean Drabbe
QUESTION 1 – On a :
pour tout n > 1 , 3^(2 • n) = 2 • 2^2 • 3^(2 • n – 2) + 3^(2 • n – 2) et pour tout n > 1 , 3^(2 • n + 1) = 2 • 11^2 • 3^(2 • n – 2) + 3^(2 • n – 2) .
QUESTION 2 – La démonstration suivante est extraite de [1] . Elle est à la fois simple et très élégante.
La propriété est vérifiée par a = b = 1 lorsque n = 3 . Il suffit d'établir que lorsque a et b sont des entiers impairs vérifiant 2^n = 7 • a^2 + b^2 , il existe des entiers impairs A et B tels que 2^(n + 1) = 7 • A^2 + B^2 .
On a 7 • ( (a + b) / 2) ^ 2) + ( (7 • a – b) / 2) ^ 2) = 2^(n + 1) et 7 • ( (a – b) / 2) ^ 2) + ( (7 • a + b) / 2) ^ 2) = 2^(n + 1) .
Comme un des nombres (a + b) / 2 , (a – b) / 2 est impair (leur somme est le le plus grand des nombres a et b ) , la vérification est immédiate.
[1] ANDREESCU, T. and ANDRICA, D., Number Theory : Structures, Examples and Problems, Springer (2009).
