Problème A475 – Solution de Jean Drabbe
Q1 – Supposons que le couple (x,y) satisfasse aux conditions imposées.
Alors 2011 • (x + y) est somme de deux carrés.
Mais, 2011 est un nombre premier congru à 3 modulo 4 et (x + y) est un carré. L'exposant de 2011 dans la décomposition en facteurs premiers du produit 2011 • (x+y) est donc impair. Ceci contredit le critère classique de représentation en somme de deux carrés.
Q2 – Nous nous plaçons immédiatement dans la situation générale.
Toutes les valeurs de k autres que 1 , 2 , 4 sont acceptables.
Les propositions suivantes en donnent une démonstration.
Proposition 1 - Le système d'équations
x^2 + k • y = z^2 y^2 + k • y = t^2
n'admet pas de solution (dans les naturels strictement positifs) lorsque k = 1 , 2 , 4 .
Vérification : Pour k = 1 , 2 , 4 , il faudrait que y > x et x > y !
Proposition 2 - Lorsque k est impair > 1 , l'équation diophantienne x^2 + kx = z^2 admet une solution avec
x = (k-1)^2 / 4 .
Vérification : Calcul élémentaire.
Proposition 3 – Lorsque n > 2 , l'équation diophantienne x^2 + 2^n • x = z^2 admet une solution avec x = 2^(n-3) .
Vérification : Calcul élémentaire.
Proposition 4 - Si l'équation diophantienne x^2 + k • x = z^2 admet une solution dans l'ensemble des naturels non nuls , il est est de même pour l'équation x^2 + a • k • x = z^2 (où a est un naturel non nul).
Vérification : Si x^2 + k • x = z^2 ,
(a • x)^2 + (a • k) (a • x) = (a • z)^2 .
Remarque : - Dans le cas particulier k =2010, le système d'équations proposé admet notamment les solutions
(16,74) , (58,368) , (64,106) , (134,134) .
Q3 – L'équation diophantienne p • y + 2010 • q = p • q admet la solution
p = 67 q = 29 y = 30 .
On en déduit que le système d'équations proposé est vérifié par
p = 67 q = 29 x = 2010 • 29 y = 30 .
