Problème A409 – Solution de Jean Drabbe
Nous dirons qu'un nombre naturel n est bisexy lorsque n , n – 6 et n + 6 sont premiers.
Les neuf premiers éléments de la liste croissante (finie ou infinie ?) des nombres bisexys sont :
11 , 13 , 17 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 73 . Il est clair que a et d doivent être impairs (ils sont jumeaux).
D'autre part, h doit être bisexy.
Remarquons aussi que h ne peut être supérieur à 23 car
h > 23 entraîne h ≥ 37 et g•h•i > 2•37•37 > 2016 . Nous allons montrer que le problème admet une solution unique lorsque h = 23 . Nous ne traiterons pas l'absence de solutions lorsque h < 23 car elle s'obtient très facilement par l'argumentation utilisée dans le cas h = 23 .
LORSQUE h = 23
La condition sexy impose que b = 29 et f = 17 ou b = 17 et f = 29 .
b = 29 et f = 17 ne peut être retenu car e doit être cousin de b et inférieur à f . Il faut donc : b = 17 , f = 29 , e = 17 – 4 = 13 . Ceci nous impose que d soit dans {3 , 5 , 7 , 11} . Mais, d > 5 donne un produit d•e•f > 20l6 qui restreint l'appartenance de d à {3 , 5} .
Si d = 3 , d•e•f = 1131. Comme g•h•i doit être divisible par 46 et 25•46 = 1150 , il est impossible que d•e•f et g•h•i figurent parmi trois nombres consécutifs.
Il faut donc que d = 5 et (par conséquent) d•e•f = 1885 .
a ne peut pas prendre la valeur 7 car aucun des nombres 1883 et 1887 n'est divisible par 7•17 = 119.
Conclusion : les neuf premiers recherchés sont les facteurs des produits suivants.
d • e • f = 5 • 13 • 29 = 1885 g • h • i = 2 • 23 • 41 = 1886 a • b • c = 3 • 17 • 37 = 1887
